二倍角的正余弦正切3

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1、课题：47二倍角的正弦、余弦、正切（3）教学目的：要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力教学重点：二倍角公式的应用教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：二倍角公式:；；；二、讲解新课：1．积化和差公式的推导sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosbÞsinacosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]sin(a+b)-sin(a-b)=2cosasinbÞcosasinb=[s

2、in(a+b)-sin(a-b)]cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosbÞcosacosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]cos(a+b)-cos(a-b)=-2sinasinbÞsinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]2．和差化积公式的推导若令a+b=q，a-b=φ，则，代入得：∴3．半角公式证：1°在中，以a代2a，代a即得：∴2°在中，以a代2a，代a即得：∴3°以上结果相除得：4°4．万能公式证：1°2°3°三、讲解范例：例1已知，求3cos2q+4sin2q的值解：∵∴cosq¹0(否则2=-5

3、)∴解之得：tanq=2∴原式例2已知，，tana=，tanb=，求2a+b解：∴又∵tan2a<0，tanb<0∴，∴∴2a+b=例3已知sina-cosa=，，求和tana的值解：∵sina-cosa=∴化简得：∴∵∴∴即例4已知cosa-cosb=，sina-sinb=，求sin(a+b)的值解：∵cosa-cosb=，∴①sina-sinb=，∴②∵∴∴∴例5求证：sin3asin3a+cos3acos3a=cos32a证：左边=(sin3asina)sin2a+(cos3acosa)cos2a=-(cos4a-cos2a)sin2a+(

4、cos4a+cos2a)cos2a=-cos4asin2a+cos2asin2a+cos4acos2a+cos2acos2a=cos4acos2a+cos2a=cos2a(cos4a+1)=cos2a2cos22a=cos32a=右边∴原式得证四、课堂练习：1已知α、β为锐角，且3sin2α＋2sin2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0求证：α＋2β＝证法1：由已知得3sin2α＝cos2β①3sin2α＝2sin2β②①÷②得tanα＝∵α、β为锐角∴0＜β＜，0＜2β＜π，－π＜－2β＜0，∴－＜－2β＜∴α＝－2β，α＋2β＝

5、证法2：由已知可得：3sin2α＝cos2β3sin2α＝2sin2β∴cos（α＋2β）＝cosα·cos2β－sinα·sin2β＝cosα·3sin2α－sinα·sin2α＝3sin2αcosα－sinα·3sinαcosα＝0又由α＋2β∈（0，）∴α＋2β＝①②证法3：由已知可得∴sin（α＋2β）＝sinαcos2β＋cosαsin2β＝sinα·3sin2α＋cosα·sin2α＝3sinα（sin2α＋cos2α）＝3sinα又由②，得3sinα·cosα＝sin2β③①2＋③2，得9sin4α＋9sin2

6、αcos2α＝1∴sinα＝，即sin（α＋2β）＝1又0＜α＋2β＜∴α＋2β＝评述：一般地，若所求角在（0，π）上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在（－，)上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，也可考虑取此角的正切2在△ABC中，sinA是cos（B＋C）与cos（B－C）的等差中项，试求(1)tanB＋tanC的值(2)证明tanB＝（1＋tanC）·cot（45°＋C）(1)解：△ABC中，sinA＝sin（B＋C）∴2sin（B＋C）＝cos（B＋C）＋cos（B－C）∴2sinBcosC

7、＋2cosBsinC＝2cosBcosC∵cosBcosC≠0∴tanB＋tanC＝1（2）证明：又由上：tanβ＝1－tanC＝（1＋tanC）·＝（1＋tanC）·tan（45°－C）＝（1＋tanC）·cot（45°＋C）3求值：解：原式＝五、小结通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式（不要求记，半角公式和万能公式的方法，要知道它们的互化关系另外，要注意半角公式的推导与正确使用六、课后作业：1如果｜cosθ｜＝，＜θ＜3π,则sin的值等于()2设5π＜θ＜6π且cos＝a,则sin等于()3已知tan76°≈4，则ta

8、n7°的值约为()4tan－cot的值等于5已知sinA＋cosA＝1，0＜Ａ＜π，则tan＝6已知tanα、tanβ是方程7ｘ2－8ｘ