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时间:2018-05-05
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1、抛物线与三角形面积 抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识,有一定难度。本文通过举例来谈这类题的解法。 一、顶点在抛物线y=ax2+bx+c的三角形面积的一般情况有: (1)、以抛物线与x轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形,其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离,高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。其面积为: SΔ=
2、x1-x2
3、·
4、
5、=··
6、
7、 (2)、以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形。其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离,高的长是抛物线与y轴上的截距(原点与y轴交点构成的线段长)的绝对值。其面积为: SΔ=·
8、x1-x2
9、·
10、c
11、=··
12、c
13、
14、 (3)、三角形三个顶点在抛物线其他位置时,应根据图形的具体特征,灵活运用几何和代数的有关知识。 二、 1.求内接于抛物线的三角形面积。 例1.已知抛物线的顶点C(2,),它与x轴两交点A、B的横坐标是方程x2-4x+3=0的两根,求ΔABC的面积。 解:由方程x2-4x+3=0,得x1=1,x2=3, ∴AB=
15、x2-x1
16、=
17、3-1
18、=2. ∴SΔABC=×2×=. 例2.已知二次函数y=x2+3x+2的图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于D点,顶点为C,求四边形ACBD的面积。 解:如图1,S四边形ACBD=SΔABC+SΔABD =××
19、
20、+××
21、2
22、
23、=. 例3.如图:已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于A、B,抛物线与y轴相交于C点,求ΔABC的面积。 解:由 得点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(3,6);抛物线与y轴交点C的坐标为(0,3)如图2,由A、B、C三点的坐标可知,AB==2,BC==3,AC==。 ∵AC2+BC2=AB2, ∴ΔABC为直角三角形,并且∠BCA=900, ∴SΔABC=AC·BC=××3=3。 2.求抛物线的解析式 例4.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B,其对称轴为直线x=-2,顶点为M,且SΔAMB=8,求它的解析式。 解:∵对称轴为直线x=
24、-2, ∴-=-2,∴b=4, ∴y=x2+4x+c, ∵SΔAMB=··
25、
26、=·
27、
28、=8, ∴c=0,∴y=x2+4x. 例5.设二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,若AC= ∠ACB=90°,SΔACB=150,求二次函数的解析式。 解:如图3,∵SΔACB=AC·BC, 即150=×C,∴BC=15, ∴AB===25, 又∵OC⊥AB,∴SΔACB=AB·OC 即150=×25·OC,∴OC=12,故C点坐标为(0,12), ∴AO==16,OB=AB-AO=25-16=9, ∴点A为(-16,0),点B为(9
29、,0), ∵二次函数的图像过A、B、C三点, ∴解得, ∴所求解析式为:y=-x2-x+12. 3.求抛物线解析式中字母系数的值。 例6.已知抛物线y=x2-mx+m-2, (1)求证:不论m为何实数,抛物线与x轴总有两个交点; (2)若以抛物线与x轴、y轴三交点为顶点的三角形面积为4,求m的值。 解: (1)Δ=(-m)2-4×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0, ∴不论m为何实数,抛物线与x轴总有两个交点。 (2)SΔ=··
30、c
31、=··
32、m-2
33、=4. 即(m-2)4+4(m-2)2-3 解得m=6或m=-2. 例7.设O和B为
34、抛物线y=-3x2-2x+k与x轴的两个相异交点,O为原点,M为抛物线的顶点,当ΔOMB为等腰直角三角形时,求k的值。 解:如图4,作MN⊥x轴于N点,∵ΔOMB为等腰直角三角形,∴MN=OB, 即
35、
36、=·, ∴k1=0,k2=-. 又∵抛物线与x轴有两个相异交点, ∴Δ=(-2)2-4×(-3)k=4+12k>0. ∴k>-,故取k=0。
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