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时间:2018-05-04
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1、也谈数学解题中逆向思维的应用也谈数学解题中逆向思维的应用 引言 在数学教学中,运用逆向思维解题,能够使我们从不同角度和不同的方向去思考和探索问题,去拓宽学生的解题思路,使学生更灵活、更快捷地解决数学问题。由于数学定义,公式都有可逆性,不少数学定理、数学运算以及解题过程也有可逆性,这些可逆性理论为逆向思维提供了理论依据。下面,结合多年教学实践,通过部分实例,谈谈逆向思维在中学数学解题教学中的具体应用。 一、定义教学中 定义法是常见的一种解题方法,定义的逆用,往往更能有效的解决问题,更能使学生深刻理解概念的本质
2、。 例1若化简
3、1-x
4、
5、x-4
6、的结果为2x-5,求x的取值范围。 分析:原式=
7、1-x
8、-
9、x-4
10、 根据题意,要化成:x-1-(4-x)=2x-5 从绝对值定义的反向考虑,推出条件是: 1-x≤0,且x-4≤0 ∴x的取值范围是:1≤x≤4 二、公式教学中 对于公式既要掌握其正用,又要灵活掌握其逆用变用。逆用和变用就是逆向思维。逆用公式(包括公式变形的逆用),往往可以使问题简化,经常性地注意这方面的训练可以培养学生思维的灵活性、变通性,使学生养成善于逆向思
11、维的习惯,提高灵活运用知识的能力。公式逆用是学生常常感到困惑的一个问题,也是教学中的一个难点,教学中必须强化这方面的训练。 例2设两个自然数的和是20,求这两个数乘积的最大值。 解:逆用完全平方公式: 设两个自然数是a、b,且a+b=20,则ab=1/4〔(a+b)2-(a-b)2〕=1/4[202-(a-b)2] ∵(a-b)2≥0∴当a-b=0,本文由.L.收集整理即a=b时,ab有最大值,最大值为100。 例3计算1.340.342.68-1.343-1.340.342 解:逆
12、用乘法分配律和完全平方公式: 原式=-1.34(1.342+0.342-0.342.68) =-1.34[(1.34-0.34)2+21.340.34-0.342.68] =-1.34[12+0]=-1.34 例4计算9982 解:逆用平方差公式: 原式=9982-22+22=(998-2)(998+2)+4=1000996+4=996004 三、方法教学中 1.反证法:就是先假设结论的反面成立,推出与已知或定理矛盾,从而推翻假设,肯定原结论的一种证明方法。这种证明方法,可使许多正面不好解决的变得简
13、单多了。 例5若a∥b,c∥b.求证a∥c 证明:假设a与c不平行,则a,c相交,有一个交点O. ∵a∥b,c∥b, ∴过点O有两直线a、c与b平行, 这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾 ∴a∥c 分析法:即从结论出发,探索使其成立的条件,判断若条件具备,则结论肯定成立。这也是逆向思维的一种运用。 例6若关于x的不等式(a-1)x>a2-2的解集为x<2,求a的值。 分析:由不等式性质3,从反向进行分析,得: a-1<0,且a2-2=2(a
14、-1)易得,a=0. 3.换元法:也称代换法,是一种常见的解题方法。即根据题目其结构特征,逆向寻求代换,将问题转化后得以解决。 例7已知y=x+√(1-x),求y的取值范围。 若直接入手,有点难度,但可假设:t=√(1-x),得出:x=1-t2 ∴y=1-t2+t=-t2+t+1 ∴y=-(t-0.5)2+1.25 ∴y≤1.25 例8若方程x2-mx+m+3=0至多有一个负根,试求m的取值范围。 分析:二次方程的两个根至多有一
15、个负根,则它的反面就是两个根都是负根,从此入手,可解。 解若方程有两负根,必须同时满足下列不等式:△≥0,x1+x2<0,x1x2>0 即:m2-4(m+3)≥0,m<0,m+3>0.解不等式组得-3<m≤-2。<br=""> 故要方程至多有一个负根时,m的取值范围是:m≤-3或m>-2。 四、运算技巧教学中 例9计算(12+32+52++992)-(22+42+62++1002) 解原式=(12-22)+(32-42)++(992
16、-1002) =(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)++(99-100)(99+100) =-(1+2+3+4++99+100) =-5050 式子的化简或证明,一般遵循由繁到简的原则。但为达到整体化简的目的,有时需做有简到繁的工作。 例10(2+1)(22+1)(24+1)(22n+1)的值是 解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(2
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