逆向思维策略在数学解题中应用

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1、逆向思维策略在数学解题中应用摘要：逆向思维又称反向思维,是从对立的角度考虑问题的思维方式.当正向思考有困难时，不妨转换思考方式，进行逆向思考,常能化难为易，使问题迅速而准确地解决•善于逆向思维是思维灵活的一种表现。关键词：高中数学；教学；逆向思维；思维方式；灵活性【中图分类号】G633.6【文献标识码】B【文章编号】1671-1297(2012)06-0090-01数学中任何一种解题方法都要以某种思维方式为背景，思考问题的角度对解题有直接的影响.在解题活动中，我们难免会遇到这种情形：从正面直接探求，常常一筹莫展；若改变思维方向，从逆向或反面探求，往往可

2、使问题迎刃而解。所谓逆向思维，即从问题的反面入手，先观察结果的对立面或假定需证的结论不成立，看能推演出什么结果，从而解决问题。本文通过实例来探讨如何运用逆向思维策略解决数学问题。一变更主元法有些题目按常规思路，从主元角度讨论十分繁琐，若变换一下角度，反客为主，视参数为主元，则问题变得容易解决了。例1若不等式mx2-2x-m+1<0对于满足

3、m

4、S2的一切实数m都成立，求实数x的取值范围。分析视x为主元难度较大，更换主元，视m为主元，则f(m)=(x2-1)m+(1-2x)<0,显然f(m)的几何意义为-2

5、0即-2x2-2x+3<02x2-2x-1<0在含参变量的函数、方程、不等式或解析几何等诸多问题，巧妙运用反客为主的方法，往往能使问题得到简捷、别致的解决。一个数学问题，若正面情况比较复杂，或从正面无法入手时，我们常常从结论的反面去探索，得出反面结论后，再返回到正面，这种逆向思维的方法称为“正难则反”，最常见的方法有补集法、反证法。二补集法例2关于x的方程x2+2mx+2m2-1=0至少有一负根，求实数m的取值范围。分析本题若正面考虑，则须分下列三种情况加以讨论：(1)有两个负根；(2)有一正根和一负根;(3)有一负根和一零根显然，这样解题过程较繁，若

6、我们从命题的反面入手，即先从方程没有负根时探求实数m的范围A，再求出至少有一负根时实数m的范围CRAo略解设全集为{m

7、A>0}={m

8、・若方程没有负根，即只有正跟或零根时m的范围为集合A.由心0x1+x2>0x1•x2得-10.>1

9、-1

10、的条件合乎逻辑地推出矛盾，从而指出否定结论错误，肯定结论正确。例3设f(x)是定义在R上的增函数，a、beR,且f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),求证:a+b>0分析本题较为抽象，从正面不易推证，可考虑其反面的情况,即“a+bvo”，问题即可迅速获解。略证假设a+b<0,则a<-b,依题意知f(a)Oo当直接推证一个命题为真陷入困境时，若改用反证法,则往往奏效。分析法数学思维的程序具有双向性(正向或逆向)，若按正向思维无从入手时，宜及时逆转思维方向，不妨把“未知”当“已知”，通过分析，推理寻找“需知

11、”。例4对一切不小于3的自然数n,求证：2n(n-1)2>n!分析本题若用比较法或综合法，不便入手；采用数学归纳法，过程较繁，若注意到n(n「)n的代数结构特征，联想到1+2+3+…+(n-1)=n(n-1)n,逆用此公式，于是，只需证明21+2+3+……+(n-1)>n!即2•22•23•……2n-1>n!(1)又=2n-1=c0n-1+c1n-1+c2n-1++cn-1n-1=1+(n・1)+(c2n-1++cn-1n-1)>n・•・1•2•22•……2n・1>1•

12、2•3…•n=n!/.(1)式成立，即不等式2n(n-1)2>n!成立。以上证明过程有两大特点:(1)逆用数列求和公式及组合数性质，并适当放缩，从而使证明过程简化；(2)采用分析法，便于操作，分析法实质是执因索果，是逆向思维的一此外，逆向思维的求解方法在排列、组合、概率等有关题目中有着广泛的应用，一般当解题陷入“山重水复疑无路”的困境时，运用逆向思维策略可步入“柳暗花明又一村”的天地。通过以上几例可以看出逆向思维、正难则反的策略作用是巨大的，特别是论证综合性较强的题目运用更为广泛。逆向思维具有求异性、探索性和发散性等特征，能培养

13、学生突破原有的思维模式寻求新的思维方式的能力，所以当习惯于正向思维时，某种逆向思维就会开拓新的