高考数学复习点拨 直线与圆锥曲线的位置关系

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1、核心突破——直线与圆锥曲线的位置关系1．有关直线与圆锥曲线的交点个数问题有关直线与圆锥曲线的交点个数问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解的个数问题，特别地，对于直线与圆的交点的个数问题，则常利用初中所学有关知识解决；有关弦的中点问题，则应注意灵活运用“差分法”，设而不求，简化运算。2．解析几何中的最值、定值问题常用的方法和技巧有：利用二次函数的性质、三角函数的有界性、基本不等式、函数的单调性、函数的导数、数形结合等。3．向量与解析几何的结合运用向量的方法解决解析几何问题，有时可简化运算（平行、垂直与夹角）；也可以把向量转化为坐标运算。注：（1）关于圆锥曲线的参数取值

2、范围和几何最值问题实属一类问题，其解题方法是统一的，往往都是代数、三角、几何多方面知识的渗透与综合，函数、方程、不等式、转化、化归、分类讨论等多种思想的交叉运用，换元、数形结合、三角代换等多种方法技巧的灵活运用。（2）求范围与最值问题首先应在做题前弄清：①平面几何知识，如三角形三边不等关系，两点之间线段最短等；②涉及直线与圆锥曲线的公共点，判别式解出不等式；③圆锥曲线上点的坐标的范围；④题目已知条件，某一参数已知的取值范围。（3）求范围与最值问题的解题方法主要有以下几种：①数形结合法；②函数法；③变量替换法；④不等式法。例1已知抛物线的弦经过点，且（为坐标原点），求弦的长。分

3、析：要求弦的长，只需求出、两点的坐标，为此设出、两点的坐标，利用的条件和、、三点共线的条件求解。解析：由、两点在抛物线上，可设，∵，∴。由得，∵，∴。①∵点、与点在一条直线上，∴，化简整理得，将①代入得②由①和②得，从而点的坐标为，点的坐标为，∴。点评：通过解方程组求得、两点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解。例2给定双曲线。（1）过点的直线与所给曲线交于两点、，如果点是弦的中点，求的方程；（2）把点改为，具备上述性质的直线是否存在？如果存在，求出方程；如果不存在，请说明理由。分析：该例综合性较强，要注意分类讨论思想的运用。解析：（1）法1：设过点的弦的端点、，则两式相减得

4、，故所求直线的方程为。法2：设直线斜率为，①不存在时，过的直线是，它与双曲线的交点是方程组，交点为不符合题意，舍去。②当存在时，由消去得①设直线与双曲线的两个交点为、，则是方程①的两个根，则解此方程组得，故所求直线的方程为。（2）点坐标为，直线方程为不存在时，舍去）。∴，消去得，则解得，但不满足条件。故不存在适合题意的直线。点评：以某一定点为弦的中点求弦的方程，也要结合韦达定理的中点坐标公式，或者用设点不求的技巧——差点法巧妙地求出斜率。例3已知直线与曲线恰有一个公共点，求实数的值。分析：切莫先入为主，武断地届定为抛物线方程，因为参数在变化，当时，即变为，此时是一条直线。解析

5、：直线与抛物线组成方程组当时，此方程组恰有一组解为当时，消去得。若，即，方程变为，此时方程组有一组解；若时，即，由得，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点。综上所述，当或或时，直线与曲线只有一个公共点。点评：对于开放的曲线，仅是直线与圆锥曲线有一个公共点的充分但不必要条件，解题时应特别注意。练习：1．为过椭圆中心的弦，是椭圆的右焦点，则的面积的最大值是（）．．．．2．若椭圆经过点，则的最小值为（）．12．16．18．．点在直线上，过作圆的两条切线，其中、是切点，那么四边形（是原点）面积的最小值是。答案：1．2．3．8