高考数学复习点拨 直线与圆的位置关系解析

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1、直线与圆的位置关系解析　　【例1】如果曲线C：x2+（y+1）2=1与直线x+y+a=0有公共点，那么实数a的取值范围是　　　　　．　　【思考与分析】通过直线与圆的位置关系来求其中所含参数的取值范围，下面我们分别从代数和几何两个方面来求.　　解法一：（代数法）由消去y得2x2+2（a-1）x+a2-2a=0，　　由Δ=4（a-1）2-8（a2-2a）≥0，即（a－1）2≤2得1-≤a≤1+.　　∴实数a的取值范围是1-≤a≤1+.　　解法二：（几何法）圆C与直线x+y+a=0有公共点，圆心（0，－1）到直线的距离不大于半径，　　　　∴实数a的取值范围是1-≤a

2、≤1+.　　【小结】直线与圆的位置关系的判定方法有：①代数法：利用二次方程的判别式判断；②几何法：依据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断.　　【例2】直线2x－y＋1＝0与圆O∶x2+y2+2x-6y-26=0的位置关系是（　　）.　　　A．相切　　　B．相交且过圆心　　　C．相离　　　D．相交不过圆心　　【解析】要想确定一条直线与圆的位置关系，我们需要得出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系.所以将圆的方程化为标准形式为：圆O∶（x+1）2+（y-3）2=36.圆心为（－1，3），半径为r＝6，　　圆心到直线的距离为d＝　　从而知0＜d＜r，所以直线与圆相交

3、但不过圆心.　　故正确答案为D.　　【例3】圆（x-1）2+（y+）2=1的切线方程中有一个是（　　）.　　　A.x－y＝0　　　B.x＋y＝0　　　C.x＝0　　　　　D.y＝0　　【思考与分析】要求一个圆的切线方程，我们可以先设出直线的方程，再利用相切的条件求解.通过观察四个选项，我们可以设直线的方程为ax+by=0，根据该直线与圆（x-1）2+（y+）2=1相切得=1，这样由排除法就可以知道正确答案选C；另外本题我们也可以采用数形结合的方法，画出已知圆与四条直线的图象，自然就会得出正确答案，用图象法解更省事.　　【例4】过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋

4、2y＋＝0相切的直线的方程为（　　）.　　　A.y＝－3x或y＝x　　　B.y＝3x或y＝－x　　　C.y＝－3x或y＝－x　　　D.y＝3x或y＝x　　【思考与分析】根据题意，我们可以设出要求的直线方程为y＝kx（k≠0）代入圆方程x2＋y2－4x＋2y＋＝0，整理得（k2＋1）x2＋（2k－4）x＋=0，根据已知直线和圆相切的条件有Δ＝（2k－4）2－10（k2＋1）＝0，解这个一元二次方程得，k＝－3或k＝.从而知与圆相切的直线方程为y＝－3x或y＝x，故正确答案为A.　　【例5】设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2＋y2＝2相切，则a的值为（　

5、　）.　　　A.±4　　　B.±2　　　C.±2　　　D.±　　【思考与分析】根据已知条件设直线的方程为x－y＋a＝0，由该直线与已知圆x2＋y2＝2相切得，＝，解得a＝±2.故正确答案为C.　　【例6】已知圆M：（x＋cosθ）2＋（y－sinθ）2＝1，直线l：y＝kx，下列四个命题：　　　A.对任意实数k和θ,直线l和圆M相切；　　　B.对任意实数k和θ,直线l和圆M有公共点；　　　C.对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切；　　　D.对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切.　　其中正确命题的代号是　　　（写出所有真命题的代号）.　　

6、【思考与分析】考查直线与圆的位置关系，我们先求出圆心到直线的距离d＝.当l与圆相切时，d＝1，两边平方得，1＋k2＝k2cos2θ＋sin2θ＋2ksinθ·cosθ，化简得（ksinθ－cosθ）2＝0，∴ksinθ＝cosθ，当θ＝0时，k不存在，所以A、C错；又（ksinθ－cosθ）2≥0，∴Δ=4（cosθ-ksinθ）2≥0.　　∴B正确；当k存在时，θ一定存在，∴D正确.故正确答案为B、D.　　【例7】　以点（2，－1）为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为（　　）.　　　Ａ.（x-2）2+（y+1）2=3　　　Ｂ.（x+2）2+（y-

7、1）2=3　　　Ｃ.（x-2）2+（y+1）2=9　　　Ｄ.（x+2）2+（y-1）2=3　　【思考与分析】让求圆的方程，题中已经知道了圆心为（2，－1），我们只要根据已知条件再求出圆的半径就可以了.根据已知直线与所求圆相切的条件知圆心到已知直线的距离即为圆的半径长，所以有r＝＝3，从而知道圆的方程为（x-2）2+（y+1）2=9.　　故正确答案为C.