高考数学复习点拨 例谈直线与圆的位置关系

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1、例谈直线与圆的位置关系一、知识清点1．点与圆的位置关系设点到圆：的圆心的距离为，则点在圆外；点在圆上；点在圆内。2．直线与圆的位置关系一般地，直线与圆的位置关系的判定有两种情形：（1）代数法判断直线和圆的位置关系，我们可将消去（或），得（或）。当时，直线与圆相交，有两个公共点；当时，直线与圆相切，有一个公共点；当时，直线与圆相离，无公共点。（2）几何法判断直线和圆的位置关系，我们也可用圆心到直线的距离与判断。当时，直线与圆相交，有两个公共点；当时，直线与圆相切，有一个公共点；当时，直线与圆相离，无公共点。二、范例剖析例1已知圆：，直线：（）。（1）证明直线与圆相交；（2）求直线被圆截得的弦

2、长最小时直线的方程。证明：（1）将的方程整理为，由，得，∴直线过定点。∵，∴点在圆的内部，∴直线恒与圆有两个交点。（2）圆心，当截得的弦长最小时，，由得的方程为，∴所求直线的方程为。评注：该例的常规解法是联立两个方程，证明方程组恒有解或圆心到直线的距离小于半径，但计算过程太复杂。例2求经过点与圆相切的切线方程。解析：将点代入圆的方程得，可知点是圆外一点，故只需求切线的斜率或再求切线上另一点。法1：设切线的斜率为，由点斜式得，即①将①代入圆方程得，整理得，∴整理得，∴或。∴切线方程为或。法2：设所求切线斜率为，则所求直线方程为，整理成一般式为，由圆的切线性质可得，∴，∴或。故所求切线方程为或

3、。评注：一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在以上两种解法中，解法1是设切线斜率用判别式法，解法2是设切线的斜率，用圆心到切线距离等于圆半径的方法进行求解。例3已知直线：和圆：相交于、两点，求弦长。解析：法1：借助于韦达定理，运用弦长公式，这对一般二次曲线都适用。由方程组消去，得。设，，即、为方程的两根，∴，，∴，∴。法2：已知圆的方程可化为，其中圆心为，半径。设圆心到直线的距离为，则，∴弦长。评注：涉及圆中的弦的问题时，运用半弦、半径、弦心距构成的直角三角形解题，可以减少运算量。