高三数学一轮复习基础导航 5.4数列的通项和求和

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1、5.4数列的通项和求和【考纲要求】数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法【基础知识】1数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性2数

2、列{an}前n项和Sn与通项an的关系式an=3求通项常用方法①作新数列法作等差数列与等比数列②累差叠加法最基本形式是an=(an－an－1+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1③归纳、猜想法4数列前n项和常用求法①重要公式1+2+…+n=n(n+1)12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2②等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn③裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项应

3、掌握以下常见的裂项④错位相减法⑤分组求和法数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法【例题精讲】1.等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.(1)求an与bn；(2)求＋＋…＋.解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.依题意有解得故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝(1＋－－)＝－.2.

4、等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，由于b＞0且b≠1，所以当n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列，又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，＝b，即＝b，解得r＝－1.(2)由(1)知，n∈N*，an＝(b－1)bn－1＝2n－1，所以bn＝＝.Tn＝＋＋＋…＋.T

5、n＝＋＋…＋＋，两式相减得Tn＝＋＋＋…＋－＝＋－＝－－，故Tn＝－－＝－.5.4数列的通项和求和强化训练【基础精练】1．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　)A．　　　　　　　　B．－C．400D．－4002．数列1，，，…，的前n项和为(　　)A.B.C.D.3．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N)，则f(n)等于(　　)A.(8n－1)B.(8n＋1－1)C.(8n＋3－1)D.(8n＋4－1)4．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝an－3，则数列{an}的

6、前n项和Sn等于(　　)A．3n＋1－3B．3n－3C．3n＋1＋3D．3n＋35．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于(　　)A．n2＋1－B．2n2－n＋1－C．n2＋1－D．n2－n＋1－6．数列an＝，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为(　　)A．－10B．－9C．10D．97．已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)＝1－f(1－x)，则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝________.8.＋＋＋＋…＋－2等于________．9．数列，，，

7、…的前n项和等于________．10．函数f(n)＝，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋…＋a1000＝__________.11．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an.(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.12．等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前99项的和．13．在数列{an}中，a1＝1，2an＋1＝2·an(n∈N*)．(1)证明：数列{}是等比数列，并

8、求数列{an}的通项公式；(2)令bn