高三高考复习数学专题学案：《立体几何初步》《空间距离》

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1、基础过关典型例题ACBDl第9课时空间距离1．点与点的距离：两点间的长．2．点与线的距离：点到直线的的长．3．平行线间的距离：从两条平行线中一条上一点向另一条引垂线，这点到之间的线段长．4．点与面的距离：点到平面的的长．5．平行于平面的直线与平面的距离：直线上一点到平面的的长．6．两个平行平面间的距离：从其中一个平面上一点向另一个平面引垂线，这点到之间的线段长．7．两条异面直线的距离：与两条异面直线都的直线夹在两间线段的长．例1.已知正六边形ABCDEF的边长为a，PA⊥平面AC，PA＝a．求：⑴P到直线BC的距离；⑵P到直线CD的距离

2、．答案：(1)(2)2a变式训练1：已知平面外不共线的三点A、B、C到α的距离相等．求证：存在△ABC的一条中位线平行α或在α内．提示：分A、B、C在的同侧与异侧讨论例2．如图，直线l上有两定点A、B，线段AC⊥l，BD⊥l，AC＝BD＝a，且AC与BD成1，求AB与CD间的距离．解：在面ABC内过B作BE⊥l于B，且BE＝AC，则ABEC为矩形．∴AB∥CE，∴AB∥平面CDE．则AB与CD的距离即为B到DE的距离．过B作BF⊥DE于F，易求得BF＝，∴AB与CD的距离为．ANMBODC变式训练2：ABCD是边长为a的正方形，M、N分

3、别为DA、BC边上的点，且MN∥AB交AC于O点，沿MN折成直二面角．⑴求证：不论MN怎样平行移动(AB∥MN)，∠AOC的大小不变；⑵当MN在怎样的位置时，点M到平面ACD的距离最大？并求出这个最大值．解(1)1(2)当且仅当MA＝MD时，点M到平面ACD的距离最大，最大值为a．设MD＝x，M到AD的距离h即是M到平面ACD的距离：h＝≤＝≤a(当x＝时两不等式同取等号)AEBCGDF例3.已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，GC＝2，求点B到平面EFG的距离．解：连结AC、BD、AC∩B

4、D＝0，∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF∥BD，∴B到平面EFG的距离即0到平面EFG的距离，AC∩EF＝K，连结KG，∵EF⊥KC，∴EF⊥平面KGC，过O作OH⊥KG于H，则OH⊥平面EFG，∴OH即为O到平面EFG的距离，KC＝AC＝3，KG＝，OK＝AC＝，由Rt△OHK∽Rt△CKG得OH＝．变式训练3：正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，Ｅ、F分别是BB1、CD的中点.ＡBCDＡ1C1D1B1EF⑴求证：AD⊥D1F；⑵求证：AE与D1F所成的角；⑶求点F到平面A1D1E的距离．答案：(1)略(2)90°(3)

5、将F移至AB中点研究．FCDEGBA北南30°30°30°例4．在正北方向的一条公路上，一辆汽车由南向北行驶，速度为100千米/小时，一架飞机在一定高度上的一条直线上飞行，速度为100千米/小时，从汽车里看飞机，在某个时刻看见飞机在正西方向，仰角为30°，在36秒后，又看见飞机在北偏西30°、仰角为30°处，求飞机飞行的高度.解：如图A、C分别是汽车、飞机开始时的位置，B、D分别是经过36秒后的位置，ABEF是水平面，CFED是矩形，且CD＝×100＝(千米)，AB＝×100＝1千米，CF(或DE)则为飞机的飞行高度，设其为x千米，在R

6、t△CFA中，AF＝x；在Rt△DEB中，BE＝x.作EG⊥AB于G，EH⊥AF于H，则EG＝AH＝x，EH＝AG＝1＋，FH＝x.在Rt△FHE中，EF2＝FH2＋EH2，即()2＝(x)2＋(1＋)2，∴x＝1.故飞机飞行的高度为1千米．变式训练4：如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．（1）若点D到平面ABC的距离不小于3，求二面角A—BC—D的取值范围；（2）当二面角A—BC—D的平面角为时，求点C到平面ABD的距离．ABDC解(1)(提示：D到平面ABC的距离d∈[3，])(2)取BC中点E，连结E

7、A、ED，则∠AED＝∴AD＝AE＝∵又，设C到平面ABD的距离为h．则小结归纳1．对于空间距离的重点是点到直线、点到平面的距离，对于两异面直线的距离一般只要求会求给出公垂线段时的距离．2、求点到平面的距离的方法：⑴确定点在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作线面垂直及某些特殊性质．⑵转化法．即化归为相关点到平面的距离或转化为线面距或转化为面面距来求.(3)等体积法：利用三棱锥的体积公式，建立体积相等关系求出某底上的高，即点面距.3．距离问题有时也可以利用向量的模的计算解决．具体见第11节的小结4、5两点.