高考数学 圆锥曲线与方程考点分析

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1、圆锥曲线与方程考点分析【复习点拨】圆锥曲线部分内容多、难度大、综合性强，为了提高学生的复习效率和复习质量，首先应抓住解析几何的特点即熟悉平面几何的性质，以坐标法为桥梁，用代数法来研究处理集合问题，复习时应重点突破以下内容：1．深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活运用定义解题；2．要熟练掌握各类圆锥曲线的标准方程、图象、几何性质，加强对基础知识的训练；3．要加强思想方法和能力的训练用类比的方法复习椭圆、双曲线、抛物线的定义和几何性质，要掌握反映解析几何问题的基本方法；4．要掌握求曲线方程的一般方法；直线与圆锥曲线的位置关系的判定；求弦长、对称等问题的解法；求有关参数范围的常用方法。

2、【题型预测】圆锥曲线是解析几何的核心内容，是高中数学的重点，也是历年高考命题的热点。客观题重点考查圆锥曲线的定义及应用；圆锥曲线的标准方程；圆锥曲线的基本量（a、b、c、e、p等）还有离心率等问题。解答题考查的热点是：求圆锥曲线的方程和轨迹方程；圆锥曲线的的几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系；范围、最值问题。许多试题虽以圆锥曲线形式出现，但要解决它，还需要涉及到函数、不等式、方程、三角、向量、导数等有关知识的综合应用。【考点分析】考点一、圆锥曲线的标准方程求圆锥曲线的标准方程主要有两种方法，一是待定系数法，其步骤是：（1）定位，确定曲线的焦点在哪个坐标轴上；（2）设方程，根据焦点的位

3、置设出相应的曲线的方程；（3）定值，根据题目条件确定相关的系数。另一种方法是定义法，根据题目的条件，判断是否满足圆锥曲线的定义，若满足，求出相应的a、b、c、p即可求得方程。例1、已知双曲线的两个焦点为F1、F2，离心率为，且经过点（４，-），求双曲线的标准方程分析：由离心率为，可知双曲线为等轴双曲线，但焦点在x轴还是y轴不确定，故可用x２-y２＝λ（λ≠０）来假设其标准方程，由点（４，-）可求得方程解析：（1）因为双曲线的离心率为，所以双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x２-y２＝λ（λ≠０），由双曲线过点（４，-），得42-(-)2=λ,即λ=6。所以双曲线的标准方程为。点评：本题

4、主要考查双曲线的标准方程、性质。求双曲线方程时，若焦点所在坐标轴不确定，则标准方程的形式也不能确定，通常要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设满足某条件的双曲线系的标准方程，用待定系数法求解，如等轴双曲线可设为x２-y２＝λ（λ≠０）。渐进线为的双曲线系可设为。例2、点M(x,y)在运动过程中，总满足关系式，点M的轨迹是什么曲线？写出它的方程。思路分析：如果将关系式整理，通过化简后的方程来指出曲线形状，则会比较复杂。这里观察式子的特点发现两个根号实际上是两点间的距离公式，根据几何意义，可以用定义求解。解：即为设F1(0,1)，F2(，则

5、MF1

6、+MF2

7、=4，即动点M到两定点

8、F1,F2的距离之和为定植2a=4，且2a>

9、F1F2

10、=2，所以点M的轨迹是椭圆，且椭圆的焦点为F1(0,1)，F2(。所以2c=2,c=12a=4,a=2所以点M的轨迹方程为点评：（1）将代数式转化为几何意义，结合椭圆的定义解题，是本题快速突破的关键；（2）本题还可以将所给的代数式整理，由化简后的方程指出轨迹。考点二、圆锥曲线的离心率求离心率e的值，要寻找a、b、c之间的另一等量关系；求e的取值范围，则要寻求a、b、c之间的不等式关系，再由不等式求解，有时还要适当利用放缩法，体现了方程和不等式的数学思想。例3、（全国）双曲线(a>1,b>0)的焦距为2c，直线过点(a,0)和（0

11、,b），且点（1，0）到直线的距离与点（-1，0）的到直线的距离之和s,求双曲线的离心率e的取值范围。分析：首先求出s，将不等式s转化为a、b、c的关系，将b用a、c表示，再由e=即可化为e的关系式，进而求出e的范围。解析：直线的方程为，即bx+ay-ab=0，由点到直线的距离公式，且a>1，得到点1，0）到直线的距离d1=,同理得到点（-1，0）的到直线的距离d2=,s=d1+d2==,由s，得，即5a2c2.于是得5a2e2，即4e4-25e2+250,解不等式得，由于e>1>0，所以e的取值范围是点评：求双曲线的离心率或离心率的取值范围的常用方法有两种：一种是直接建立e的关系式

12、求e或e的范围；另一种是建立a、b、c的齐次关系式，将b用a、c表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解，有时也可借助于圆锥曲线的统一定义求界考点三、圆锥曲线的最值问题最值问题常见的解法有两种：代数法和几何法，若题目的条件和结论能明显体现集合特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；若题目的条件和结论难体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值。求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法