浅谈如何培养学生逻辑分类的数学思想

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1、浅谈如何培养学生逻辑分类的数学思想浅谈如何培养学生逻辑分类的数学思想学生在数学学习过程中，运用逻辑分类的数学思想普遍存在着思维障碍。这里仅就逻辑分类思想的培养，谈几点粗浅体会。　　首先，要让学生牢固而准确掌握逻.L.辑分类的概念。　　在教学过程中，充分利用课本中分类的常规模型，从中升华出逻辑分类的概念，使学生由感知变为理性思考。　　例如：高一《数学》（上）39页，当a>0时，二次函数y=ax2+bx+c的图像情况与二次不等式ax2+bx+c>0的解集情况小结。　　在分析理解这些特点的基础上，就可以进一步归纳出分类的一般规律，顺理成章地提出逻辑分类的定义：设符

2、合一定条件的对象的集合A,按对象的某一性质P,将A无遗漏无重复地分成若干个真子集A1，A2，、An，即满足（1）A=[][i=1]Ai，（2）Ai∩Aj=φ(i≠j，i=1，2，，n，则称A1，A2，An为A的一个一级分类，若再对Ai再进行分类，就构成对A的二级分类，依次类推。由此，我们对逻辑分类可以做这样的理解：逻辑分类就是将概念分为它包含的种概念。它是由划分的母项（属概念）、划分的子项（种概念）和划分的标准（依据）三部分组成。　　其次，还要让学生全面而准确地掌握逻辑分类的规则。规则有以下几条：（1）全域的确定性。划分要与属概念的外延相称，不能大

3、，也不能小。（2）划分的完整性。划分必须按属种包含层次进行。（3）分域的互斥性。划分种概念必须互不相容。（4）标准的同一性。每次划分必须按同一标准进行。（5）分域的逐级性。划分必须按由大到小的顺序进行。正确的划分必须遵循这几条原则，违背其中的任一条，都是错误的划分。　　第三，要让学生掌握常用的分类的种类、方法以及标准。1.种类：根据划分所包含的母项和子项的层次不同，划分可分为一次划分和连续划分两种。（1）一次划分只包括母项和子项两个层次划分。（2）连续划分是包括母项和子项三个层次的划分。2.方法：根据每次划分的子项的数量不同，划分可分为二分法和多分法两种。（1）二分法划

4、分是根据子项有无某一种差，一次将母项划分为具有矛盾关系的子项的划分；（2）多分法划分是一次将母项划分为三个以上子项的划分。3.标准：（1）按定义、性质分；（2）按运算法则分；（3）按题目特殊要求分；（4）按图形位置或形状变化分；（5）按剩余类分。　　第四，要让学生了解适宜于运用逻辑分类思想解决的数学问题。常见的这类数学问题有以下几种：（1）解某些方程或不等式；（2）讨论参数的取值；（3）对数列进行分类，求通项与和；（4）化简绝对值或讨论函数性质；（5）排列组合；（6）图形位置关系；（7）自然数分类。　　要使学生真正掌握分类的数学思想，可以通过典型的例题，对学生进行引导。

5、这里仅举一例来说明。　　例如：解关于x的不等式ax2-a2x-x+a<0。　　分析：此不等式中含有参数a。首先，对a∈R分类，要区分a≠0是二次的与a=0是一次的情况；其次对a≠0分类，还要分a>0（开口向上）与a<0（开口向下）两种情况；再次，当a≠0时，由原不等式得（ax－1）（x－a）<0，方程（ax－1）（x－a）=0的两个根为x1=，x2=a无论a>0还是a<0，要求不等式的解，必须知道x1，x2的大小，要知道x1，x2的大小的关键在于准确地找出分界点，如何正确地找出分界点呢？方法是作差：x2-x

6、1=a-=或者令a=，得a=1或a=－1，从而确定分界点为1和－1；第四，利用分界点分别对a>0与a<0进行分类。　　（1）a>0时，如图1　　（2）a<0时，如图2。　　下面将整个分类过程及不等式的解表示如下（a∈R）：　　a≠0a=0（解为：x＞0）　　a＞0a=1(无解)　　a＞1　　（解为：＜x＜a）　　a＜1（解为：a＜x＜　　）　　a＜0a=-1（解为：x∈R）　　－1＜a＜0(解为：x＜　　或x＞a)　　a＜-1（解为：x＜a或x＞　　）　　从上例可以看出，逻辑分类思想，用于思路分析：（1）能使学生感到问题

7、眉目清楚，层次分明；（2）能使学生通观全局，不重不漏；（3）能使学生克服盲目讨论的毛病。一般来说，解分类讨论题的步骤为：（1）确定讨论对象；（2）进行合理分类；（3）逐步讨论；（4）归纳结论。　　在培养学生逻辑分类思想的教学过程中，笔者有过以上的尝试和体会，当然非常粗浅，还需要在以后的教学活动中继续总结探讨。