用╲〞几何画板╲〞

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1、用“几何画板”解2003年全国高中数学联赛第15题江苏省六合高级中学刘明（211500）（E-mail:lhliuming@sina.comTel:025-6359666）2003年全国高中数学联赛第15题如下：一张纸上画有半径为的圆和圆内一定点，且。折叠纸片，使圆周上某一点刚好与点重合。这样的每一种折法，都留下一条直线折痕。当取遍圆周上所有的点，求所有折痕所在直线上点的集合。本题直接用数学方法来解有一定的难度，但是，如果利用“几何画板”来解就显得比较简单，其解题过程如下：图1（1）打开几何画板，建立直角坐标系，画半径为的圆交轴于点，设点的坐标为，在圆上任取一点，连接，作线段的中垂线交圆

2、于点、（如图1），则线段就为折痕；（2）选取线段，在几何画板的“显示”菜单中选中“追踪线段”（如图2）：（3）选取点，并按住鼠标左键拖动点，就可以得到追踪线段所得的图形（如图3所示），可以发现，线段的集合是圆内除了中间似乎为椭圆的空白处所有点的集合；图2图3（6）下面研究图中间空白处的图形。在几何画板中分别在轴上改变点和点的位置，可以发现，无论点与点的位置作何种改变，图中的空白部分的形状都是椭圆。下面研究这一椭圆的方程：当改变点和点的位置时，图中的空白部分似乎都经过线段的中点，设线段的中点为，作点关于点的对称点，再次分别在轴上改变点和点的位置，拖动点，追踪线段，则图中的空白部分是以为焦点

3、、点为中心、长轴为的椭圆（如图4所示），由于，所以，图中的椭圆方程为，所以折痕所在直线上点的集合为圆中除去椭圆所得到的环状图形（包含边界）。图4（本文发表在《中小学电脑报》2003.11.3）