3、动态电路的微分方程，变换成为相应的代数方程，将求解微分方程的全解转化成求解代数方程，由代数方程的解对应找出原微分方程的解。 这种方法的优点在于将描述动态过程时域电路转换成为复频域形式的运算电路，由运算电路形成代数方程，它既不需要列写电路的微分方程；也不需要由电路的初始条件确定积分常数。这种方法也称为积分变换法。10.1.1 拉普拉斯变换１、由傅里叶变换到拉普拉斯变换 傅里叶变换与拉普拉斯变换都是积分变换，时域函数f ( t ) 的傅里叶变换为 要使上式的积分收敛，函数f ( t )在无限区间内必须满足绝对可积，即d t 存在，其傅里叶变换才能确定，
4、显然这是傅里叶变换的局限性。 电路中某些常见的函数不能直接应用傅里叶变换，因为在通常情况下，如果当t 趋向于无限大时，函数f ( t ) 的幅度不衰减，则上述积分不收敛，所以它就不存在傅里叶变换。为了克服这一困难，可以将时域函数f ( t )乘以一个衰减系数，其中σ为正实数，当t趋向于正无限大时，f ( t )趋近于零，从而使积分收敛。f ( t )的傅里叶变换为相应的傅里叶反变换为令，则上式称为双边拉普拉斯正变换。在电路理论中，通常把换路瞬间定为t = 0，着重研究t≥0时电路中的响应。如果用函数f ( t )表示换路之后电路中的激励或响应，我们对时
5、间段-∞→ 0 - 之间f ( t)是什么内容并不关心，也就是说，当t＜0时f ( t)不进行计算，将f ( t)定义在t≥0区间。这样，可以应用数学上的单边拉普拉斯变换分析动态电路。 ２、拉普拉斯变换 本书只讨论单边拉普拉斯正变换，故将它简称为拉普拉斯变换或称拉氏变换。即 是一个复数，称之为复频率。 f ( t)是以时间t为自变量的实函数，称之为原函数 F( s ) 是以复数s为自变量的复函数，称之为f ( t)的象函数 L [ f ( t)]表示求f ( t)的象函数，即对f ( t)进行拉普拉斯正变换。３、拉普拉斯反变换由于，故dω=
6、d s / j。当ω= -∞时，s =σ- j∞；当ω= ∞时，s =σ+ j∞。将这些关系代入上式 称为拉普拉斯反变换。 原函数与象函数之间存在一一对应的关系，这种对应在数学中已经证明都是唯一的。 例10-1 求单位阶跃函数 f ( t)=ε(t)的象函数。 例10-2 求单位冲激函数的象函数。 例10-3 求指数函数的象函数。 ４、一些较常见函数的拉普拉斯变换对 单边拉普拉斯变换在t ≥0区域内有定义，故本表中的原函数f ( t )均应理解为f ( t )ε(t)。10.2拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换具有很多重要性质
7、，本节只介绍一些常用的性质，利用这些性质可以帮助求得一些复杂的原函数的象函数或者使原函数的微分方程变换为象函数的代数方程。运用积分变换法分析线性电路的动态过程，其要点是将描述动态电路的原函数的微分方程变换成为相应的象函数的代数方程，然后求解代数方程，得到响应的象函数。最后由响应的象函数进行拉普拉斯反变换，求出响应的原函数。因此，在运用积分变换法分析线性电路的过渡过程中，拉普拉斯反变换显得尤为重要。拉普拉斯反变换的方法有： １、由定义式计算 在本章第一节里，已经讨论过拉普拉斯反变换的定义式根据定义式，可以将象函数F（s）变换成为原函数f ( t )。但
