第十章 拉普拉斯变换.doc

《第十章 拉普拉斯变换.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、第十章拉普拉斯变换一、知识剖析1知识网络拉氏变换的定义拉氏变换的概念两个重要函数线性性质平移性质拉氏变换的主要性质延滞性质微分性质积分性质拉氏逆变换的性质拉氏逆变换有理分式的分解有理分式的拉氏变换有理分式的拉氏逆变换解线性方程组拉氏变换的应用：传递函数2.知识重点与学习要求：2.1理解拉氏变换的概念，熟悉两个重要函数；2.2掌握拉氏变换的主要性质，熟练掌握常用函数的拉氏变换；2.3理解拉氏逆变换的性质，熟悉有理分式的分解，掌握有理分式的拉氏逆变换；2.4掌握利用拉氏变换解微分方程的方法，了解利用拉氏变换求传递函数的方法。3.概念理解与方法掌握：拉普拉斯变换是分析和

2、求解常系数线性微分方程的常用方法，在分析综合线性系统的运动过程等工程上有着广泛的应用。3.1拉氏变换的概念（1）求一个函数拉氏变换的过程就是在区间上求定积分的过程，计算公式为，要想掌握好这个公式，必须对定积分的求法要相当熟悉，尤其是对分部积分法。并且，在求函数的拉氏变换时，只要求在上有定义。因此，我们总假定在内，。（2）两个重要函数①单位阶梯函数，将的图像向右平移个单位，得；设，则。利用单位阶梯函数，可以将分段函数合写成一个函数，再进一步求拉氏变换。②狄拉克函数（单位脉冲函数），且，此函数是在工程中应用较多的函数。3.2拉氏变换的主要性质：在拉氏变换中，大家务必记

3、住拉氏变换性质和表中常用函数的拉氏变换，结合在一起使用会使问题变得更简单、更容易。为了大家应用方便，在此重新附表如下。表10-1序号拉氏变换性质（设）123()4567()89101112如果有周期，即，则表10-2序号拉氏变换11213（为正整数）456789101112（为正整数）13141516171819202122233.3拉氏逆变换：（1）拉式逆变换的性质拉氏逆变换的性质与拉氏变换的性质比较记忆，更加容易理解一些。主要的性质有：①线性性质②平移性质③延滞性质（2）有理分式的拉氏逆变换：在有理分式的拉氏逆变换的计算过程中，最主要的是真分式的分解，之后再根

4、据拉氏逆变换的性质和常用函数的拉氏变换进行计算。推广：真分式的分解，不仅可以应用在拉氏逆变换的计算，还可以应用于积分的计算。例如，学完不定积分后，对于，我们无法求解。而如果对分式进行分解，则有：3.4拉氏变换的应用：解线性微分方程组。用拉氏变换解微分方程的一般步骤为：（1）对方程两边分别求拉氏变换；（2）解出未知函数的拉氏变换；（3）求出像函数的拉氏逆变换，解出未知函数。二例题分析例1：求函数的拉氏变换。解：由拉氏变换定义，得：例2：求下列函数的拉氏变换：1.2.3.解：1.由公式，及可得：2.由公式可得：3.即所以。例3：求下列函数的拉氏逆变换：1）解：设，解得

5、：，，所以，于是，2）解:于是，例4解微分方程：，，解：对方程两端取拉氏变换，并设，得由拉氏变换的性质得：设，并将，代人，得：解得：对上式取拉氏变换，得：例5如图所示电路的传递函数。这里输入是电压，输出是电压。并求当输入电压为时的输出电压。解：设电路的左网孔的电流为，由回路电压法，得：对此方程取拉氏变换，得：图10-1由（2），得：代入（1），得：故该电路的传递函数是当时，即时，此时，再求其逆变换，可得输出电压为三自我测验题（一）基础层次（时间：110分钟；分数：100分）一填空题（每题2分，共8分）：1.___________;2.___________;3._

6、__________;4.___________;5.___________;6.___________;7.___________;8.___________;二求下列函数的拉氏变换（每题5分，共30分）：1.；2.；3.；4.；5.；6.三求下列函数的拉氏逆变换（每题5分，共30分）：1.；2.；3.；4.；5.；6.；四、求下列微分方程式及方程组的解（每题6分，共24分）：1.，，2.，3.，4.，五对下列每一函数，验证：（共8分）：1.；2.（二）提高层次（时间：110分钟；分数：100分）一填空题（每题2分，共8分）：1.___________;2.__

7、_________;3.___________;4.___________.5.___________;6.___________;7.___________;8.___________.二求下列函数的拉氏变换（每题5分，共30分）：1.；2.；3.；4.；5.；6.三求下列函数的拉氏逆变换（每题5分，共30分）：1.；2.；3.；4.；5.；6.。四、求下列微分方程式及方程组的解（每题6分，共24分）：1.，，2.，3.，4.五对下列每一函数，验证：（共8分）：1.；2.。参考答案（一）基础层次一1.；2.3.；4.；5.；6.；7.；8.。二1.；2.；3.；

8、4.；5.