傅里叶变换和拉普拉斯变换.doc

《傅里叶变换和拉普拉斯变换.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一傅里叶变换在应用上的局限性在第三章中，已经介绍了一个时间函数满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变换。即(正变换)(5.1)                  (反变换)(5.2)但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号，斜变信号，单边正弦信号等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅里叶变换。还有一些信号，例如单边增长的指数信号等，则根本就不存在傅里叶变换。另外，在求傅里叶反变换时，需要求从到区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系

2、统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。实际上，信号总是在某一确定的时刻接入系统的。若把信号接入系统的时刻作为的时刻(称为起始时刻)，那么，在t＜0的时间内即有=0。我们把具有起始时刻的信号称为因果信号。这样，式(5-1)即可改写为          (5-3)　式(5-3)中的积分下限取为，是考虑到在的时刻中有可能包含有冲激函数。但要注意，式(5-2)中积分的上下限仍然不变(因积分变量是)，不过此时要在公式后面标以

3、t＞0，意即只有在t＞0时才有定义，即        t＞0 (5-4a)　或用单位阶跃函数加以限制而写成下式，即              (5-4b)二、从傅里叶变换到拉普拉斯变换当函数不满足绝对可积条件时，可采取给乘以因子（为任意实常数)的办法，这样即得到一个新的时间函数。今若能根据函数的具体性质，恰当地选取的值，从而使当时，函数，即满足条件         　则函数即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子起着使函数收敛的作用，故称为收敛因子。设函数满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过恰当地选取σ的值来达到)，则根据式(5-3)有         

4、                        在上式中，是以的形式出现的。令，为一复数变量，称为复频率。的单位为，的单位为。这样，上式即变为               　由于上式中的积分变量为t，故积分结果必为复变量s的函数，故应将改写为，即                                                    (5-5)复变量函数称为时间函数的单边拉普拉斯变换。称为的像函数，称为的原函数。一般记为                       符号为一算子，表示对括号内的时间函数进行拉普拉斯变换。利用式(5-4)可推导出求反变换的公式，

5、即          　对上式等号两边同乘以，并考虑到不是的函数而可置于积分号内。于是得                              (5-6)由于式(5-6)中被积函数是，而积分变量却是实变量。所以欲进行积分，必须进行变量代换。因                                              故(因为任意实常数)故且当时，；当时，。将以上这些关系代入式(5-6)即得                (5-7a)写成                                  (5-7b)式(5-7b)称为拉普拉斯反变换，可从

6、已知的像函数求与之对应的原函数。一般记为符号也为一算子，表示对括号内的像函数进行拉普拉斯反变换。式(5-5)与式(5-7)构成了拉普拉斯变换对，一般记为                                       或　    若不是因果信号，则拉普拉斯变换式(5-5)的积分下限应改写为()，即                          (5-8)　式(5-8)称为双边拉普拉斯变换。因为一般常用信号均为因果信号(即有始信号)，故本书主要讨论和应用单边拉普拉斯变换。以后提到拉普拉斯变换，均指单边拉普拉斯变换而言。   由以上所述可见，傅里叶变换是建立了

7、信号的时域与频域之间的关系，即而拉普拉斯变换则是建立了信号的时域与复频域之间的关系，即.三、复频率平面    以复频率的实部和虚部为相互垂直的坐标轴而构成的平面，称为复频率平面，简称s平面，如图5-1所示。复频率平面(即s平面)上有三个区域：轴以左的区域为左半开平面；轴以右的区域为右半开平面；轴本身也是一个区域，它是左半开平面与右半开平面的分界轴。将s平面划分为这样三个区域，对以后研究问题将有很大方便。四、拉普拉斯变换存在的条件与收敛域上面已经指出，当函数乘以收敛因子后，所得新的时间函数便有可能满足绝对可积条件。但是否一定满足