证明行列式和矩阵等于零的几种经典方法

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1、前言：一、线代的特点：1、内容抽象2、概念多3、符号多4、计算原理简单但计算量大5、证明简洁但技巧性强6、应用广泛二、学习中要注意的问题1、不要急于求成，不要急于做难题。要分层次，扎扎实实的学习2、熟练掌握基本内容。基本概念（定义、符号）基本结论（定理、公式）基本计算（计算行列式、解线性方程组、求逆矩阵等）基本证明和推理方法3、自己动手推证书中的每个结果尽量体会结论、证明的思想方法用自己喜欢的方式写出简要总结4、贯穿前后，注意发现线代课内容的重要规律。提出问题的规律（存在、个数、结构、求法）变换和标准形式（如行列式和上三角行列式）问题相互转化5、要多与同学讨论，虚心向

2、别人请教问题。要经常提出问题，思考问题，乐于同别人交流该方法引至李永乐老师的讲义，由KJ1234CN整理一、行列式等于零的证明方法例题1：A^2=A,A≠E,证明

3、A

4、=0(复习全书理工类P364例1.35)由于书上已经有详尽的解题方法（四种），KJ不再复述，KJ在此只强调证法二在这里有一种常见的错误解法由A^2＝A，有A（A－E）＝0，∵A≠E∴（A－E）≠0，∴A=0∴

5、A

6、=0其错误在于没有搞清楚矩阵的运算规则，AB＝0，若B≠0不能推出A＝0。例如[11][11][11][-1-1]=0,但是A、B都不等于0（KJ废话：该种方法由错误的方法解出了正确的答案，很

7、多人在做题过程中经常只对答案而不管过程，考试的时候也使用他用过的错误的方法，结果出来的分数与他估计的相去甚远，其原因我想也就在与此！他们没有细细体味书上的解题过程，也没有反省自己的解题方法与书上的不同之处。KJ奉劝大家，在看书时，对于例题一定要先做后看，并对和书上的不同的解题方法细细体会，辨别对错）二、矩阵等于零的证明方法例题2：A是m*n的矩阵，B是n*p的矩阵，R(B)=n。证明当AB＝0时，A＝0证法一：<方法>矩阵的秩等于0，则矩阵等于0∵AB＝0，∴B的每一列都是AX＝0的解又∵齐次方程组的基础解系的向量个数＝未知数的个数－系数矩阵的秩；R(B)=n∴AX＝

8、0的解中至少有n个线性无关，n-R(A)≥n∴0≤R(A)≤0∴R(A)=0证法二：∵R(B)=n∴设β1，β2......βn是B中线性无关的列向量设B1＝(β1，β2......βn),则B1可逆∴AB1=0∴AB1B1^-1=0B1^-1=0∴A=0证法三：<方法>矩阵的每一个元素都为0将A按矩阵的通用表示方法表示，B按行分列[a11...a1n][.........]=A[an1...ann][α1][α2][...]=B[αn]则[a11α1+...+a1nαn][.................]=AB=0[an1α1+...+annαn]∴有方程组[a

9、11α1+...+a1nαn=0[.................=0[an1α1+...+annαn=0∵R(B)=n∴α1...αn现性无关∴a11...a1n＝0................an1...ann=0∴A=0通过方法三，我们要注意到矩阵乘法的一些简便运算，即:初等矩阵P左(右)乘A，所得PA(AP)就是A作了一次与P同样的行(列)变换。例如：[100][010][-101]相当于第一行乘以－1加到第三行再如：[101][123][010][234]=[120][345][α1+α3][α2][α1+2α2]=[468][234][5811]