函数概念的学习与理解

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1、函数概念的学习与理解丹阳五中吴延俊摘要：函数概念是重要的数学概念，学好函数概念是应用函数知识解决问题的前提．函数的传统定义与近代定义叙述不同，但实质都是从非空数集到非空数集的一个特殊的对应；函数概念包括定义域、值域及对应法则三个要素，缺一不可；映射从集合论的角度进一步定义函数，学习映射也有利于函数概念的学习．一、函数定义（一）基本定义定义1：设在一个变化过程中有两个变量和，如果对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，那么就说是的函数，叫自变量，与值对应的值叫函数值．定义2：设，是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为从集

2、合到集合的一个函数，记作．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与值对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．（二）定义分析定义1是函数的传统定义，定义2是函数的近代定义．两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合的观点出发．函数的实质都是从非空数集到非空数集的一个特殊的对应．举例：（1）正比例函数．（2）反比例函数解析：（1）是对于每一个实数，都有惟一的实数与其对应，是的3倍；非空数集、是实数集，对应关系是乘3．（2）对每个不等于0的实数，都有惟一的实数与其对应，是的倒数；非空集合是不等于0的全

3、体实数组成的集合，非空集合可以是实数集（只要包含集合即可），对应关系是求倒数．从以上两个例子中，可以进一步明确函数的两个定义本质上是相同的，只是叙述方式略有不同．符号表示的是“是的函数”的数学表示，理解为：5是自变量，它是对应关系所施加的对象；是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；是自变量的函数，当为允许的某一具体值时，相应的值与该自变量值对应的函数值，当用解析式表示时，则解析式为函数解析式，而仅仅是函数符号，表示的是与对应的函数值．（三）定义学习在初中阶段主要学习了函数的传统定义、一次函数、二次函数、反比例函数；在高中阶段还会学习函数的近代定义以及更多

4、的函数，如：对数函数、指数函数、三角函数等．因为任何函数都属于函数，都具有函数的共同特征，所以函数概念的学习尤为重要．学习函数的概念可以通过概念的同化和知识的迁移来完成．因为在初中阶段已经学过函数的定义，学生对于函数的概念已经基本形成，学生认知结构中已有概念的基础，教师可以以定义的方式用准确的语言直接向学生讲授函数概念，突出函数概念的关键特征，控制无关特征，运用恰当的正例与反例，从而使学生获得函数概念．同时，由于函数的传统定义已经学习过，在学习函数的近代定义时会发生学习的迁移．为了防止产生负迁移，教师应该有意识地引导学生发现不同知识之间的共同点和不同点，启发学生进行概括，指导学生运用已有的

5、知识去学习新的知识．函数的传统定义指出了函数中和的关系，同时涉及到两个集合，即自变量的取值范围和函数值的取值范围，但这两个集合在定义中都没有说明．近代定义中既概括了与之间的对应关系是，还明确地指出的取值范围是集合，的取值范围是集合，比函数的传统定义更具体，特点更明显．二、函数三要素（一）函数的三要素由函数的近代定义知函数概念包括三个要素：定义域、值域、对应法则．定义域是自变量的取值范围，是构成函数不可缺少的组成部分．值域之所以用而不用表示，那是因为值域是集合的子集；集合中不仅包含与任意相对应的值，还可能包含其它数值，故集合包含集合．函数的值域是由函数的定义域和对应法则确定的．例1：对应法则

6、就是集合到集合的函数吗？答：不是．集合、以及对应法则一起称为集合到集合的函数．5例2：写出的定义域、值域．解：函数定义域是，值域是．与例2相比较，集合可以是，而值域是，显然；同时集合也可以是值域（即），但是不能是的真子集（）．（二）三要素的几点说明1．定义域不同，两个函数不同；如：．2．对应法则不同，两个函数不同；如：．3．定义域、值域分别相同的函数，也不一定是同一个函数，还要看对应法则；如：不同；相同．4．的区别表示当时函数的值，是一个常量．例3：判断表示的是否为同一函数？解：，对应法则是的值等于的值；，对应法则是等于的绝对值；，对应法则是等于的绝对值；根据函数的三要素，判断（2）和（3

7、）表示的是同一函数．注意：由于值域是由定义域和对应法则来决定，当且仅当定义域和对应法则分别相同时，函数才是同一函数．例4：判断是否为同一函数？解：的定义域、值域、对应法则完全相同，故是同一函数．注意：函数是两个数集之间的对应关系，与使用什么字母来表示自变量、因变量以及对应关系都是无关的．三、函数与映射（一）映射的定义及特点1．定义：设，是两个非空的集合，如果按某一确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有惟