点击立体几何中的轨迹问题

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1、点击立体几何中的轨迹问题文/蒋明权近几年的高考试题比较注重考查知识的整体性和交汇性，着眼于对学生能力的考查，而以立体几何为载体的轨迹问题能将立体几何与解析几何巧妙地结合起来，立意新颖，综合性强.解决此类问题的关键是把空间问题转化为平面问题，再根据曲线的定义或用解析法求出轨迹方程.一、轨迹是双曲线例1已知正方体的棱长是1，点P是平面AC内的动点，若点P到直线的距离等于点P到直线的距离，则动点P的轨迹是A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线解如图1所示，以点D为原点，建立空间直角坐标系z，设点P的坐标为.作，，垂足分别是E、G，连接PG，则可知，即，图1于是有.作，则有.又，则有，即.故动点P的

2、轨迹是双曲线.二、轨迹是平面例2已知、为异面直线，，，当、分别在直线、上运动时，则线段的中点的轨迹是A.两条相交直线B.两条平行直线C.一条直线D.一个平面图2解如图2所示，过直线作平面∥，过直线作平面∥，则与平面、等距离的点集构成的平面就是中点的轨迹(证明略).选D.三、轨迹是椭圆例3已知两条异面直线、的夹角是，公垂线段，长度为4的线段AB的两个端点A、B分别在直线、上移动，则线段A、B的中点的轨迹是A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线解由例2可知，点在与异面直线、均平行且距离相等的平面内.过A、B分别作，，垂足分别是、，如图3所示.由，可知，.又则.易证，，于是有.图3图4以点为坐标原

3、点，的角平分线为轴的正向，建立平面直角坐标系，如图4所示.设，，，可得，，则有，，解得.考虑到，即，也就是.整理得.选B.四、轨迹是抛物线例4已知正方体的棱长是6，点F在棱AB上，且AF=2，点P是平面AC内的动点，若点P到直线的距离与点P到点F的距离相等，则动点P的轨迹是A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线解如图5所示，以点D为原点，建立直角坐标系，则F(2，0)，设点P的坐标为.作，，垂足分别为E、M，连接PM，则可知，所以.于是得，.又，联立上述等式并整理得.故动点P的轨迹是抛物线.选C.五、轨迹是圆例5地面上有两个相距30米、长度分别是20米和40米的烟囱，现打算从烟囱顶部拉一些铁

4、链使其固定.为了美观，铁链与地面接触点P与每个烟囱顶部连线的仰角相等，则点P的轨迹是A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线解如图6所示，AB=20，AC=40，BD=20.据题意有，即，即.将已知数据代入得，即.以AB的中点为坐标原点，射线为轴的正向，建立直角坐标系，则A(-15，0)，B(15，0)，设，于是有，.又，所以有，化简整理得.选A.六、轨迹是球面例6已知正方体的棱长是3，线段的长是2，在上运动，在平面上运动，则的中点形成的曲面与平面、、所围成的几何体的体积是A.B.C.D.解如图7所示，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设点P的坐标为，，，于是有.由，得.①又的中点是，则有，，，

5、即，，.将上述等式代入①得.②所以P点到D的距离是1的点的集合，即P点的轨迹是以D为球心、1为半径的球面，其体积为.点形成的曲面与平面、、所围成的几何体的体积是.选D.