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《拓扑空间中连续映射的等价命题及证明论文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、上海大学2015～2016学年秋季学期研究生课程论文课程名称：空间理论基础课程编号：论文题目:研究生姓名:孙亚南学号:论文评语:成绩:任课教师:评阅日期:注:后接课程论文的正文，格式参照公开发表论文的样式。-7-拓扑空间中连续映射的等价命题及证明孙亚南（上海大学理学院，上海）摘要：本篇论文主要介绍了拓扑空间中连续映射的定义.总结了连续映射一些相关的等价命题,并且给出了相应的证明.关键词：拓扑空间；连续映射；点连续TheEquivalentPropositionandProofofContinuousMappinginTopologicalSpac
2、eSunYanan(Schoolofscience,ShanghaiUniversity,Shanghai,China)Abstract:Thispapermainlyintroducesthedefinitionofcontinuousmappingintopological,summarizestheequivalentpropositionofcontinuousmapping,andprovidesthedetailedproving.Keywords:topologicalspace;continuousmapping;pointcon
3、tinuity1引言在数学研究的过程中一般要涉及两类基本对象。例如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换。在群论中我们考虑群和同态，在集合论中我们考虑集合和映射，在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等。并且对后者都要提出一类来重点研究，那就是拓扑空间及拓扑空间中的连续映射。2拓扑空间及连续映射的定义拓扑空间定义：设是一个集合,是的一个子集族.如果满足如下条件:（1）,；（2）若,则；（3）若，则，则称是的一个拓扑.如果是集合的一个拓扑，则称偶对（，）是一个拓扑空间.连续映射定义：-7-定义1：设和是两个拓扑空间,,如果的每一个邻域的原像是的
4、一个邻域,则称映射是一个在点处连续的映射,或简称映射在点处连续.定义2：设和是两个拓扑空间,，如果中每一个开集的原像是中的一个开集,则称是从到的一个连续映射.定义1和定义2是“局部”连续和“整体”连续之间的关系，他们之间存在着一个等价关系：设设和是两个拓扑空间，，则映射连续当且仅当对于每个点，映射在点处连续.为了更好地说明这两个定义之间的关系，我们给下面的证明.证明：必要性:对设是的一个邻域，则存在开集使得，即；因为连续,故是开集，则是的一个邻域；所以对于每个点，映射在点处连续.充分性：设是的一开集，则对于每一个，即，有是的一个邻域.因为映射在点
5、处连续，故是的一个邻域，则是一个开集，所以连续.3连续映射的等价命题及证明3.1与闭包和内部相关的等价命题设和是两个拓扑空间,，则以下条件等价：（1）是一个连续映射.（2）中的任何一个闭集的原像是一个闭集.（3）对于中的任何一个子集,的闭包的象包含于的象的闭包,即.（4）对于中的任何的一个子集,的闭包的原像包含的原像的闭包,即.（5）对于中的任何一个子集,的内部的原像包含于的原像的内部，即.（6）对于中的任何一个子集，是满射，的内部的象包含的象的内部，即.-7-证明：由（1）证（2）：设是一个闭集，则是一个开集.由（1）可知，是一个连续映射，即开
6、集的原像是开集得：是中的一个开集，则是中的一个闭集.由（2）证明（3）：设，因为，故，又因为是中的闭集，由（2）闭集的原像是闭集可得：是中的一个闭集.所以，即.由（3）证明（4）：设,对于集合,由（3）得：，故有，即，即得.由（4）证明（5）：设，则,由（4）得：,则有.由（5）证明（6）：设则集合,由（5）得：，故有，即有.由（6）证明（1）：设是中的开集，则，由（6）得：即.因为,所以.又因为,故，则是中的开集，可知是一个连续映射.3.2与基和子基、邻域基和邻域子基有关的等价命题3.2.1与基和子基有关的等价命题设是两个拓扑空间，，则以下条件
7、等价：（1）是一个连续映射.（2）拓扑空间有一个基,使得对于任何一个,原像是中的一个开集.（3）有一个子基,使得对于任何一个,原像是中的一个开集.证明：由（1）证明（3）：因为是一个拓扑空间，故的拓扑本身便是的一个子基.设，由的连续性，可得是中的一个开集.即有一个子基,使得任何一个-7-,原像是中的一个开集.由（3）证明（2）：设是拓扑空间的一个子基，使得是的开集.根据的定义,是的拓扑的一个基.对于，有,由是开集且有限个开集的交是开集，得是的一个开集.即是中的一个开集.由（2）证明（1）：设是的拓扑的一个基，使得对于任何一个，原像是的一个开集.再
8、设是中的一个开集，则，使得,于是有.因为是中的一族开集之并，为开集，故是开集，由连续的定义可知是连续映射.3.2.2与邻域基和邻域子基有
