拓扑空间中连续映射的证明

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1、拓扑空间中连续映射相关命题证明摘要：定义在欧式空间的连续函数，将其连续的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射，从度量空间及其连续映射导入了一般拓扑学中的拓扑空间、连续映射的概念，本文通过介绍了拓扑空间中连续映射的定义,总结连续映射的相关命题，并给出详细证明过程。关键字：连续函数，拓扑空间，点连续1连续性的简要说明由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。设是一个函数，，则在处连续的定义有如下几种描述方法：（1）序列语言若序列收敛于，则序列收

2、敛于；（2）语言对于，总可以找到，使当时，有（3）邻域语言若是包含的邻域（开集），则存在包含的邻域，使得。详解：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述；对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）。[1]2拓扑空间2.11拓扑空间的定义设是一非空集，的一个子集族称为的一个拓扑，若它满足（1）；（2）中任意多个元素（即的子集）的并仍属于；(3)中有限多个元素的交仍属于。集合和它的一个拓扑一起称为一个拓扑空间，记。中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。2.1

3、2常见拓扑1）离散拓扑——非空集合的所有子集构成的集族（包括）。2）平庸（平凡）拓扑——是非空集合，。2.21拓扑空间中开集，是开集是开集。证明：设是上的开集。若，则必有且。于是，存在的球形邻域及.取，则是的球形邻域，且有，于是，故是开集。2.22若和都是上的拓扑，则是上的拓扑。[2]证明：若，且.因此，是上的拓扑。3度量空间3.11度量空间相关概念设X为集合,为一映射,如果对于任何x，y，z∈X，有:.对于任意两点x，y∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离．[3]3.21度量空间的任意两个球形

4、邻域的交集是若干个球形邻域的并集。证明：如右图所示，设，则有记则知，于是证毕。3.22设(度量空间)的子集族是若干个球形邻域的并集则是上的一个拓扑。证明：由于球形邻域是开集，于是可以表示为无穷个球形邻域的并，表示为零个球形邻域的并；又由的定义知，任意多个邻域的并必属于；设，记则（由分配率）由引理，一定满足的条件，即属于，故是若干个球形邻域的并，即.3.23度量空间（X，ρ）的球形邻域，如果y∈X属于x∈X的某一个球形邻域，则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域．设y∈B（x，ε）．令＝ε-ρ（x，y）

5、．显然．＞0．如果z∈B（y，），则ρ（z，x）≤ρ（z，y）+ρ（y，x）＜+ρ（y，x）=ε所以z∈B（x，ε）．这证明B（y，）B（x，ε）．3.24度量空间X中任意两个开集的交是一个开集；证明：设U和V是X中的两个开集．如果x∈U∩V，则存在x的一个球形邻域B（x，）包含于U，也存在x的一个球形邻域B（x，）包含于V．根据定理2.1.1（2），x有一个球形邻域B（x，ε）同时包含于B（x，）和B（x，），因此B（x，ε）B（x，）∩B（x，）U∩V。由于U∩V中的每一点都有一个球形邻域包含于U∩

6、V，因此U∩V是一个开集．4拓扑空间中连续映射的证明4.1度量空间（X，ρ）的球形邻域，对于点x∈X的任意两个球形邻域，存在x的一个球形邻域同时包含于两者.[4]证明:如果B（x，）和B（x，）是x∈X的两个球形邻域，任意选取实数ε＞0，使得ε＜min{}，则易见有B（x，ε）B（x，）∩B（x，）即B（x，ε）满足要求．4.2设（X,T)，（Y,),(Z,)都是拓扑空间，则（1）恒同映射:（X,T)（X,T)是一个连续映射。（2）如果:则也是连续映射.证明(1)如果U∈,我们有，因此。(2)设都是连续

7、映射,如果,则,因此,但,因此若U∈,必有因此连续.4.3设X和Y是两个度量空间，f：X→Y以及∈X．f在点处是连续的，则f()的每一个邻域的原象是的一个邻域；证明：令U为f（）的一个邻域．f（）有一个球形邻域B（f（），ε）包含于U．由于f在点处是连续的，所以有一个球形邻域B（，δ）使得f（B（，δ））B（f（），ε）．然而，（B（f（），ε）（U），所以B（，δ）（U），这证明（U）是的一个邻域．任意给定f（）的一个邻域B（f(),ε），则（B（f()，ε）是的一个邻域．有一个球形邻域B（，δ）包含

8、于（B（f（），ε）．因此f（B（，δ））B（f（），ε）．这证明f在点处连续．4.4设X和Y是两个度量空间，f：X→Y以及∈X，f是连续的，则Y中的每一个开集的原象是X中的一个开集证明：对于任意x∈X，设U是f（x）的一个邻域，即存在包含f（x）的一个开集VU．从而x∈（V）（U）．根据条件（2）*，（V）是一个开集，所以（U）是x的一个邻域，对于x而言f在点x处连续．由于点x是任意选取的，所以f是一个连续映射．参考文献[1]熊金城.点集