2018版高中数学苏教版必修二学案：1.3.2　空间几何体的体积

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1、2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案1.3.2　空间几何体的体积学习目标　1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积.知识点一　柱体、锥体、台体的体积公式1.柱体的体积公式________(S为底面面积，h为高).2.锥体的体积公式__________(S为底面面积，h为高).3.台体的体积公式________________(S′、S为上、下底面面积，h为高).4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh

2、.知识点二　球的表面积和体积公式1.球的表面积公式S＝________(R为球的半径).2.球的体积公式V＝__________.知识点三　球体的截面的特点1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆.2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.类型一　柱体、锥体、台体的体积例1　(1)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为____________.(2)现有一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一

3、个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中.当铅锤从水中取出后，杯里的水将下92017-2018学年苏教版高中数学必修2学案降________cm.反思与感悟　(1)常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解.②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.(2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算.跟踪训练1　(1)如图所示，在长方体ABCD－A′B′

4、C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.　　　(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积.　　类型二　球的表面积与体积命题角度1　与球有关的切、接问题例2　(1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比.　　(2)设长方体的长，宽，高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________.反思与感悟　(1)正方体的内切球92017-2018学年苏教版高中数学必修2

5、学案球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图①.(2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝a，如图②.(3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.(5)正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.跟踪训练

6、2　(1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为________.(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________.命题角度2　球的截面例3　已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面积与球的体积.　反思与感悟　设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，在解答球心的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面.92017-2018学年苏教版高中数学必修2学案跟踪训练

7、3　用过球心的平面将一个球分成两个半球，则两个半球的表面积之和是原来整球表面积的______倍.类型三　组合体的体积例4　如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由.　　　反思与感悟　代公式计算几何体的体积时，注意柱体与锥体的体积公式的区别.跟踪训练4　如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所得的几何体的体积.　　　1.已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(

8、不计损耗)