2017-2018学年高中数学人教b版选修4-1教学案：第一章 1.2 1.2.2　圆周角定理

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1、2017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案1．2.2　圆周角定理[对应学生用书P19]　[读教材·填要点]1．圆周角的定义从⊙O上任一点P引两条分别与该圆相交于A和B的射线PA，PB，叫做∠APB所对的弧，∠APB叫做所对的圆周角．2．圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．3．圆周角定理的推论(1)推论1：直径(或半圆)所对的圆周角都是直角．(2)推论2：同弧或等弧所对的圆周角相等．(3)推论3：等于直角的圆周角的所对弦是圆的直径．[小问题·大思维]1．圆心角的大小与圆的半径有关系吗？提示：圆心角的度数等于它所对弧的度数，与圆的半径没

2、有关系．2．相等的圆周角所对的弧也相等吗？提示：不一定．只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等．[对应学生用书P19]　圆周角与圆心角问题[例1]　锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝40°，作OE⊥AB交劣弧于点E，连接EC，求∠OEC.[思路点拨]　本题考查圆周角定理与圆心角定理的应用．解决本题需要先求∠OEC所对的弧的度数，然后根据圆心角定理得∠OEC的度数．[精解详析]　连接OC.82017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案∵∠ABC＝60°，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝80°.∵OE⊥AB，∴E为的中点．

3、∴和的度数均为80°.∴∠EOC＝80°＋80°＝160°.∴∠OEC＝10°.圆周角定理可以理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对圆心角的一半．1．在半径为5cm的圆内有长为5cm的弦，求此弦所对的圆周角．解：如图所示，AB＝5cm，过点O作OD⊥AB于点D.∵OD⊥AB，OD经过圆心O，∴AD＝BD＝cm.在Rt△AOD中，OD＝＝cm，∴∠OAD＝30°，∴∠AOD＝60°.∴∠AOB＝2∠AOD＝120°.∴∠ACB＝∠AOB＝60°.∵∠AOB＝120°，∴劣弧的度数为120°，优弧的度数为240°.∴∠AEB＝×

4、240°＝120°，∴此弦所对的圆周角为60°或120°.利用圆周角定理证明线段相等[例2]　如图所示，已知⊙O中，的中点分别是E，F，直线EF交AC于P，交AB于Q.求证：△APQ是等腰三角形．[思路点拨]　要证等腰三角形，可分别用弧的度数表示∠APQ与∠AQP，82017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案然后根据等腰三角形的定义作出判断．[精解详析]　连接CE，BF，∵E，F分别是⊙O中与的中点，∴＝，＝.又∵∠FPC＝∠ACE＋∠PEC＝(＋)的度数，∠FPC＝∠APQ，∴∠APQ的度数＝(＋)的度数，同理∠AQP的度数＝(＋)的度数，∴

5、∠APQ＝∠AQP.∴△APQ是等腰三角形．(1)在圆中，只要有弧，就存在着所对的圆周角．同弧所对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的推理提供了条件，要注意此种意识的应用．(2)证明一条线段等于两条线段之和，可将其分为两段，其中一段等于已知线段，再去证明另一段也等于已知线段．2.如图，AB是⊙O的一条弦，∠ACB的平分线交AB于点E，交⊙O于点D.求证：AC·CB＝DC·CE.证明：连接BD.在△ACE与△DCB中，∵∠EAC与∠BDC是同弧所对的圆周角，∴∠EAC＝∠BDC.又∵CE为∠ACB的平分线，∴∠ACE＝∠DCB，∴△ACE∽△DCB.∴＝.∴

6、AC·CB＝DC·CE.利用圆周(心)角定理及其推论求线段长[例3]　如图，AB是⊙O的直径，AB＝2cm，点C在圆周上，且∠BAC＝30°，∠ABD＝120°，CD⊥BD于D.求BD的长．[思路点拨]　本题考查“直径所对的圆周角为直角”82017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案的应用．解答本题可连接BC，然后利用直角三角形的有关知识解决．[精解详析]　连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠BAC＝30°，AB＝2cm，∴BC＝＝1(cm)．∵∠ABD＝120°，∴∠DBC＝120°－60°＝60°.∵CD⊥BD，∴∠BCD＝

7、90°－60°＝30°.∴BD＝＝0.5(cm)．在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角、线段又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等．3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，求BP长．解：连接CP，∵AC为圆的直径，∴∠CPA＝90°，即CP⊥AB.又∵∠ACB＝90°，∴由射影定理可知AC2＝AP·AB.∴AP＝＝＝3.6.∴BP＝AB－AP＝10－3.6＝6.4.[对应学生用书P21]　一、选择题1．在⊙O中，∠AOB＝84°，则弦AB

8、所对的圆周角是(　　)A．42°　　　　　　　B．138°8201