2017-2018学年高中数学人教b版选修4-1教学案：第一章 1.2 1.2.3　弦切角定理

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1、2017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案1．2.3　弦切角定理[对应学生用书P22]　[读教材·填要点]1．弦切角顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．2．弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．3．弦切角定理的推论弦切角等于它所夹弧所对的圆周角．[小问题·大思维]一边和圆相交，另一边和圆相切的角是弦切角吗？提示：不一定．弦切角必须同时具备三点：①顶点在圆上；②一边和圆相交；③一边和圆相切．[对应学生用书P23]　弦切角的定义[例1]　如图，AB、CB分别切⊙O于D、E，试写出图中所有的弦切角．[思路点

2、拨]　本题考查弦切角的定义．解答本题需要明确构成弦切角的三个条件，然后依据定义作出判断．[精解详析]　由弦切角的定义可知，∠ADE、∠BDE、∠BED、∠CED都是弦切角．解决此类问题的关键是把握弦切角的三个要素：(1)顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)；(2)一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)；72017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案(3)一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)．三者缺一不可，例如上图中，∠CAD很像弦切角，但它不是弦切角，因为AD与圆相交，∠BAE也不一定是弦切角，只有已知AE切圆于点A，才能确定它是弦切角

3、．1．如图，NA与⊙O切于点A，AB和AD是⊙O的弦，AC为直径，试指出图中有哪几个弦切角？解：弦切角分三类：如题图：(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；(3)圆心在角的内部．即∠BAN、∠CAN、∠DAN为弦切角.弦切角定理及其推论[例2]　已知：AB切⊙O于A，OB交⊙O于C，AD⊥OB于D.求证：∠DAC＝∠CAB.[思路点拨]　本题考查弦切角定理的应用．解答本题需要根据题意画出图形，然后利用相关定理解决．[精解详析]　法一：如图(1)，延长AD交⊙O于E，AB切⊙O于A，∵CD⊥AE，∴＝.又∵∠DAC的度数＝的度数．∠CA

4、B的度数＝的度数．∴∠DAC＝∠CAB.法二：如图(2)，延长BO交⊙O于E，连接AE，则∠CAE＝90°.又∵AD⊥CE，∴∠DAC＝∠E.∵AB是⊙O的切线，∴∠CAB＝∠E.∴∠DAC＝∠CAB.法三：如图(3)，连接OA.∵AB切⊙O于A，∴OA⊥AB.72017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案∴∠CAB与∠OAC互余．又∵AD⊥OB，∴∠DAC与∠ACO互余．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO.∴∠DAC＝∠CAB.法四：如图(4)，过C作⊙O的切线交AB于G∵AB是⊙O的切线，∠CAG＝∠ACG，又∵OC⊥CG，AD

5、⊥OB，∴CG∥AD.∴∠ACG＝∠DAC，即∠DAC＝∠CAB.(1)由弦切角定理及其推论可直接得到角相等，在与弦切角有关的几何问题中，往往还需要借助其它几何知识来综合解答，由弦切角得到的角相等只是推理论证中的一个条件．(2)借助弦切角定理及其推论和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等．2．如图，△ABD的边AB为直径，作⊙O交AD于C，过点C的切线CE和BD互相垂直，垂足为E.证明：AB＝BD.证明：如图所示，连接BC，延长EC至F.∵CE是圆的切线，∴∠FCA＝∠CBA

6、.∵∠FCA＝∠DCE，∴∠DCE＝∠CBA.∵AB是直径，∴AD⊥BC，∴∠BAC＝90°－∠CBA.又∵CE⊥BD，∴∠D＝90°－∠DCE，∴∠D＝∠BAC，∴AB＝BD.[对应学生用书P24]　一、选择题1．如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F.已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接72017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案OE，OF，DE，DF，那么∠EDF的值为(　　)A．40°　　　　　　　B．55°C．65°D．70°解析：∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°，∴∠EOF＝110°，∴∠EDF＝5

7、5°.答案：B2．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为(　　)A．2B．3C．2D．4解析：连接BC，构造出弦切角所对的圆周角，由已知有△ADC与△ACB相似，所以可得＝，代入数值得关于AC的方程．答案：C3．在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB＝30°，AP＝，则CP＝(　　)A.B．2C．2－1D．2＋1解析：如图，连接OP，则OP⊥PA，又∠APB＝30°，∴∠POB＝60°，∴在Rt△OPA中，AP＝，易知，PB＝OP＝1，在Rt△PCB中，由PB＝1，

8、∠PBC＝60°，得PC＝.答案：A4．如图所示，经过⊙O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P，若∠CAP＝40°，∠ACP＝100°，则∠BAC所对的弧的度数