四川省雅安市雅安中学等校联考2024届高三下学期开学考试数学（理）试题（原卷版）.docx

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2024届高三数学试题（理）考生注意：1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2．请将各题答案填写在答题卡上.3．本试卷主要考试内容：高考全部内容.第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知复数为纯虚数，则（）AB.0C.1D.23.已知非零向量，满足，且，则与夹角的余弦值为（）A.B.C.D.4.已知是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则且C.若，则D.若，则5.函数的图象大致为（） A.B.C.D.6.执行如图所示的程序框图，若输入的值为，，，则输出的值为（）A.B.C.D.7.已知集合，非空集合，且中所有元素之和为奇数，则满足条件的集合共有（）A.12个B.14个C.16个D.18个8.已知函数，若存在，使得，则下列结论不正确的是（）A.B. C.在内有零点D.若在内有零点，则9.当两个变量呈非线性相关时，有些可以通过适当的转换进行线性相关化，比如反比例关系，可以设一个新的变量，这样与之间就是线性关系．下列表格中的数据可以用非线性方程进行拟合，1234562.53.64.45.46.67.5用线性回归的相关知识，可求得的值约为（）A2.98B.2.88C.2.78D.2.6810.若函数在上恰有两个零点，则的取值范围为（）A.B.C.D.11.我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线．设共轭双曲线，的离心率分别为，，则当取得最大值时，（）A.B.C.D.12.当时，恒成立，则取值范围为（）AB.C.D. 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上．13.已知实数，满足约束条件，则其表示的封闭区域的面积为______．14.已知抛物线的焦点为，是上一点，且，则______．15.一个封闭的玻璃圆锥容器内装有部分水（如图1），此时水面与线段交于点，将其倒置后（如图2），水面与线段还是交于点，则______．16.在中，，延长CB至点，使得，若，则的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.已知数列满足．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．18.为了防止注册账号被他人非法登录，某系统在账号登录前，要先输入一个验证码.当连续3次输入错误验证码时，该用户账号将被冻结，需本人持有效证件进行解冻.已知该系统登入设置的每个验证码由有序数字串abcd组成，其中，某人非法登录一个账号，任选一组验证码输入，直到输入正确的验证码或账号被冻结．（1）求这个人第一次输入的验证码怡有两位正确的概率；（2）设这个人输入验证码的次数为X，求X的分布列和期望． 19.如图，在四棱柱中，底面和侧面均是边长为2的正方形.（1）证明：.（2）若，求二面角的余弦值.20.已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为．（1）求椭圆的方程．（2）设是椭圆上第一象限内的一点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点．记的面积为，的面积为．证明：为定值．21.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个不相等的根，且的导函数为，证明：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．［选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）22.已知曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），与相交于，两点．（1）求曲线的普通方程；（2）设，证明：定值．［选修4－5：不等式选讲]（10分） 23.已知正实数，，满足．（1）若，证明：．（2）求的最大值．