陕西省西安市五校联考2023-2024学年高一上学期期末考试 数学 Word版含解析.docx

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高一数学期末检测卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.4．考试结束后，将答题卡交回.第I卷（选择题共60分）一、选择题（12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.（多选）已知集合，则使的实数的取值范围可以是（）A.B.C.D.3.设全集集合，集合若，则应该满足的条件是A.B.≥C.D.≤4.关于的不等式的解集为空集，则的取值范围为（）A.B.C.D.5.若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.6.已知函数是奇函数，在上是减函数，且在区间上值域为，则在区间上（）A.有最大值4B.有最小值-4C.有最大值-3D.有最小值-3 7.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度8.化简：得（）A.B.C.D.9.定义在R上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则（）A.的图象关于点成中心对称B.对任意整数，C.的值域为D.的实数根个数为710.函数的图像为（）A.B.C.D.11.若一些函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，就是“同族函数”．下列四个函数中能用来构造“同族函数”的是（）A.B. CD.12.若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是（）A.和B.1和C.和D.和第II卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a取值范围_______.14.已知函数（为常数），若时，恒成立，则的取值范围是______．15.若函数在区间上是增函数，则a的取值范围__________.16.已知函数在上的最大值与最小值的和为3，则函数的单调递减区间为_____．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17已知集合，，全集．（1）当时，求，；（2）若是成立的充分不必要条件,求实数的取值范围．18.已知函数.（1）判断函数在区间上的单调性；（2）用定义证明（1）中结论；（3）求该函数在区间上的最大值和最小值.19.若，且（1）求的取值范围；（2）求的最小值，以及此时对应的的值.20.已知函数.（1）若，证明：； （2）若是定义在上的奇函数，且当时，.（ⅰ）求的解析式；（ⅱ）求方程所有根.21.已知函数.（1）求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量的取值集合；（2）若，求函数的单调减区间. 高一数学期末检测卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.4．考试结束后，将答题卡交回.第I卷（选择题共60分）一、选择题（12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】解不等式得到，根据范围大小关系得到答案.【详解】，，故“”是“”的必要不充分条件.故选：C2.（多选）已知集合，则使的实数的取值范围可以是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】，分不为空集、为空集，分别求的范围可得答案.【详解】，①若不为空集，则，解得，，且，解得，此时； ②若为空集，则，解得，符合题意，综上实数满足即可，故选：ACD.3.设全集集合，集合若，则应该满足的条件是A.B.≥C.D.≤【答案】B【解析】【详解】由得：，由，得≥，故选B.4.关于的不等式的解集为空集，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由不等式的解集为空集，当时，即时，不等式不成立，所以不等式的解集为空集；当时，即时，要使得的解集为空集，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围为.故选：D.5.若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数单调性，以及题中条件，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为函数是上的减函数，，A选项，，当时，，所以；当时，，所以，即B不一定成立；B选项，当时，，所以；当时，，所以，即B不一定成立；C选项，时，，则，所以C不成立；D选项，，则；所以，即D一定成立.故选：D.6.已知函数是奇函数，在上是减函数，且在区间上的值域为，则在区间上（）A.有最大值4B.有最小值-4C.有最大值-3D.有最小值-3【答案】B【解析】【分析】根据奇函数的性质,分析在对称的区间上单调性相同,即可找出最大值与最小值.【详解】∵是奇函数,在上是减函数,∴在上也是减函数,即在区间上递减.又∵在区间上的值域为,∴根据奇函数的性质可知且在区间上单调递减,∴在区间上有最大值3,有最小值-4.故选：B.【点睛】本题考查了奇函数的单调性和值域特点,如果性质记不熟,可以将大致图像画出.本题属于中等题.7.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（） A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】将函数化为，再进行判断.【详解】，它是由图象上所有的点向右平移个单位长度得到的，所以D正确.故选：D.8.化简：得（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式以及平方公式可化简为，再结合角是第二象限角，确定正负，即可得结果.【详解】解：又因为角时第二象限角，所以，所以.故选：C.9.定义在R上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则（）A.的图象关于点成中心对称B.对任意整数，C.的值域为D.的实数根个数为7【答案】BCD【解析】 【分析】利用函数的对称性、周期性以及时，，可作出的完整图象，数形结合求解.【详解】由可得函数以4为周期，又由函数为偶函数可得，所以函数的一条对称轴为，又由时，，所以作出函数图象如下，所以由图可知，的图象不关于点成中心对称，A错误；对任意整数，，B正确；的值域为，C正确；由可得，令，作出如图，注意到，，所以的图象和的图象共有7个交点，即的实数根个数为7，D正确；故选:BCD.10.函数的图像为（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】以函数的定义域、奇偶性去排除错误选项即可.【详解】函数的定义域为，可以排除选项B、C；由，可知函数为偶函数，其图像应关于y轴轴对称，可以排除选项D.故选：A11.若一些函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，就是“同族函数”．下列四个函数中能用来构造“同族函数”的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据“同族函数”的定义可知“同族函数”不会为单调函数，由此判断各选项中函数的单调性，即可判断出答案.【详解】对于A，函数，，与函数，，符合“同族函数”定义，A正确；对于B，C，函数和在各自定义域上都是单调递增函数，当自变量x取值不同时，函数值不同，因此无法用来构造“同族函数”，B，C错误；对于D，在上均单调递减，当自变量x取值不同时，函数值不同，因此无法用来构造“同族函数”，D错误，故选：A 12.若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是（）A.和B.1和C.和D.和【答案】B【解析】【分析】根据函数的两个零点是2和3，求得a，b，得到求解.【详解】函数的两个零点是2和3，，3是方程的两个根，则，，即，，，由，解得和，故函数的零点是1和，故选：B．【点睛】本题主要考查函数零点的求法，属于基础题.第II卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围_______.【答案】或且【解析】【分析】先考虑A，B为空集得出a的范围，再利用补集思想求得结果.【详解】对于集合A，由，解得;对于集合B，由，解得.因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集,所以a的取值范围是或，且故答案为：或且 14.已知函数（为常数），若时，恒成立，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】令，分离常数，由此求得的取值范围.【详解】依题意时，恒成立，即，，，在时成立.而在区间上，为单调递增函数，当时有最小值为，故，所以.故答案【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解，考查指数函数和对数函数的性质，属于基础题.15.若函数在区间上是增函数，则a的取值范围__________.【答案】【解析】【分析】利用二次函数单调性列出不等式，求解不等式即得.【详解】函数图象开口向上，对称轴为，由函数在区间上单调递增，得，解得，所以a的取值范围是故答案为：16.已知函数在上的最大值与最小值的和为3，则函数的单调递减区间为_____．【答案】【解析】【分析】由指数函数的单调性可得的最值，解方程可得，再由复合函数的单调性，结合对数函数和二次函数的单调性，可得所求减区间．【详解】当时，在递增，可得，即；当时，在递减，可得，即，舍去； 所以即，设，则．因为在递增，所以要求函数的单调递减区间，只需求的减区间．而的减区间为，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17.已知集合，，全集．（1）当时，求，；（2）若是成立的充分不必要条件,求实数的取值范围．【答案】（1）A∩B＝{x|1≤x≤4}，（∁UA）∩（∁UB）＝{x|x＜﹣2或x＞7}；（2）（﹣∞，﹣4）∪[﹣1，]【解析】【分析】（1）当时，得到，再计算，得到答案.（2）将充分不必要条件转化为A⫋B，再讨论和两种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）当a＝2时，A＝{x|1≤x≤7}，则A∩B＝{x|1≤x≤4}；∁UA＝{x|x＜1或x＞7}，∁UB＝{x|x＜﹣2或x＞4}，（∁UA）∩（∁RB）＝{x|x＜﹣2或x＞7}；（2）∵x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，∴A⫋B，①若A＝∅，则a﹣1＞2a+3，解得a＜﹣4；②若A≠∅，由A⫋B，得到，且a﹣1≥﹣2与2a+3≤4不同时取等号解得：﹣1≤a，综上所述：a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪[﹣1，]．【点睛】本题考查了集合的运算，根据集合关系求参数，将充分不必要条件转化为A⫋B是解题的关键 18.已知函数.（1）判断函数在区间上的单调性；（2）用定义证明（1）中结论；（3）求该函数在区间上最大值和最小值.【答案】（1）函数在单调递增（2）见解析（3）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）将化为，即可判单调性；（2）取值，作差，变形，定号；（3）根据（2）的结论得出答案.【小问1详解】，因为在单调递减，所以在单调递增.【小问2详解】任取，设，，所以，故函数在单调递增.【小问3详解】由（2）得在区间上的最大值为，在区间上的最小值为，该函数在区间上的最大值为，最小值为.19.若，且（1）求的取值范围；（2）求的最小值，以及此时对应的的值.【答案】（1）； （2）时，取最小值为【解析】【分析】（1）利用基本不等式可得出关于的不等式，即可得出的最小值；（2）利用条件等式，得到，进而有，利用基本不等式可得答案.【小问1详解】，，，得，解得，明显可得，的取值范围为【小问2详解】由得，，结合得，当且仅当时，等式成立，解得，，即当时，取最小值为20.已知函数.（1）若，证明：；（2）若是定义在上的奇函数，且当时，.（ⅰ）求的解析式；（ⅱ）求方程的所有根.【答案】（1）证明见解析（2）（ⅰ）；（ⅱ），，【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质，基本不等式结合条件即得；（2）根据奇函数的性质可得函数的解析式，方程转化成曲线与直线的交点情况，结合函数的图象和性质即得.【小问1详解】 证明：因为，所以，，由基本不等式，当时，，即，即；【小问2详解】（ⅰ）依题意得，当时，，因为是定义在上的奇函数，所以，代入上式成立，即当时，，设，则，所以，所以；（ⅱ）方程转化成曲线与直线的交点情况，当时，与交于点和点，由（1）知的图象总是向上凸的，所以除外不会有其它交点，同理，当时，根据对称性，两个图象还有一个交点，所以方程有三个根，，.21.已知函数.（1）求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量的取值集合；（2）若，求函数的单调减区间. 【答案】（1）有最小值为0，的取值集合是；（2）.【解析】【分析】（1）应用同角平方关系、二倍角正余弦公式及和角余弦公式可得，根据余弦函数的性质求其最小值，并写出对应的取值即可.（2）整体代入法求的减区间，再确定上的减区间.【小问1详解】==，当，即时，函数有最小值为0，∴取得最小值时自变量的取值集合是.【小问2详解】由，得：，又，∴，故上的单调减区间为.