陕西省西安市五校联考2023-2024学年高二上学期1月期末考试 数学 Word版含解析.docx

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高二数学期末检测卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.一、选择题：1.若A，B，当取最小值时，x的值等于（）A.B.C.D.2.如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（）A.B.C.D.3.已知空间中三个点组成一个三角形，分别在线段上取三点，当周长最小时，直线与直线的交点坐标为（）A.B.C.D.4.已知直线和直线，下列说法不正确的是（）A.始终过定点B.若，则或C.若，则或2D.当时，始终不过第三象限 5.已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为（）A.1B.C.D.6.过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（）AB.C.D.7.已知椭圆，则下列关于椭圆的说法正确的是（）A.离心率为B.焦点为C.长轴长为4D.椭圆上的点的横坐标取值范围为8.意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》中，记载有数列，.若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前100项和为（）A.100B.99C.67D.669.设数列的前n项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不是充分也不是必要条件10.已知，函数，若在上是单调减函数，则取值范围是A.B.C.D.11.若函数，则（）A.函数只有极大值没有极小值B.函数只有最大值没有最小值C.函数只有极小值没有极大值D.函数只有最小值没有最大值12.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为()A.B.C.D. 二、填空题13.在四棱锥中，面，四边形为直角梯形，，，，则平面与平面夹角的余弦值为______，异面直线与的距离为______．14.圆的圆心到直线的距离______.15.已知N为抛物线上的任意一点，M为圆上的一点，，则的最小值为__________．16.定义在R上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为____.三、解答题：17.如图，三棱柱的侧棱底面，，E是棱上的动点，F是的中点，，，．（1）当是棱的中点时，求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得二面角余弦值是？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．18.已知圆心为的圆经过点，.（1）求圆的标准方程；（2）已知在圆C外，求的取值范围.19.如图1，已知抛物线的方程为，直线的方程为，直线交抛物线于 两点为坐标原点.（1）若，求的面积的大小；（2）的大小是否是定值？证明你的结论；（3）如图2，过点分别作抛物线的切线和（两切线交点为），分别与轴交于，求面积的最小值.20.已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，若，且，，，成等差数列．（1）求数列，通项公式；（2）记，数列前项和为，数列的前项和为，若对任意正整数，恒成立，求实数的取值范围．21.已知函数．（1）求函数的单调区间与极值；（2）求函数在区间上的最值． 高二数学期末检测卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.一、选择题：1.若A，B，当取最小值时，x的值等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的坐标公式求得的坐标，再利用向量模的坐标公式求解.【详解】因为A，B，所以，则，，当时，取最小值，故选：C2.如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的加减运算，结合空间向量的基本定理即可求得答案.【详解】由题意得,结合可得，故，故选：C3.已知空间中三个点组成一个三角形，分别在线段上取三点，当周长最小时，直线与直线的交点坐标为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】当为三角形的垂足三角形时候周长最小，此时与的交点即为三角形的垂心.【详解】如图所示： 先固定D不动，分别作D关于和的对称点，连接，设分别与和交于点，利用几何关系可知与的交点即为三角形的垂心，从而，即，不妨设垂心，坐标原点为，则，所以有，即垂心的坐标满足,又四点共面，从而由四点共面的充要条件可知，，从而，结合，解得.故选：B.【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是分析出当周长最小时，与的交点即为三角形的垂心，再求垂心时，除了利用垂直转换为数量积为0以外，还要注意四点共面的充要条件的应用，否则只能算出比例.4.已知直线和直线，下列说法不正确的是（）A.始终过定点B.若，则或C.若，则或2D.当时，始终不过第三象限【答案】B【解析】【分析】对于A选项，提出让其前面的系数为，即可验证A正确.对于B选项，当则与重合，故B错误.利用两直线垂直，即可得到，得到C正确.把直线化为斜截式方程，找到恒过定点，即可验证D正确 【详解】，，，即始终过定点，故A正确.若，当则与重合，故B错误.或，故C正确.当时，直线始终过点，斜率负，不会过第三象限，故D正确.故选：B.5.已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】确定圆心和半径，计算圆心到直线的距离，再计算最小值得到答案.【详解】圆，圆心为，半径，圆心到直线的距离为，直线和圆相离，故圆上的点到直线的距离的最小值为.故选：B6.过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出切点弦的方程后可求不在任何切点弦上的点形成的区域的面积. 【详解】设圆的动点为，过作圆的切线，切点分别为，则过的圆是以直径的圆，该圆的方程为：.由可得的直线方程为：.原点到直线的距离为，故圆不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为，故选：A.7.已知椭圆，则下列关于椭圆的说法正确的是（）A.离心率为B.焦点为C.长轴长为4D.椭圆上的点的横坐标取值范围为【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的几何性质即可判断选项正误.【详解】由椭圆方程，可知，，所以，所以，故A错误；由方程可知，焦点在x轴上，故焦点坐标为，故B错误；长轴长为，故C正确；因焦点在x轴上，所以椭圆上的点的横坐标的取值范围是，即为，故D错误.故选：C.8.意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》中，记载有数列， .若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前100项和为（）A.100B.99C.67D.66【答案】C【解析】【分析】因为数列中的奇数除以2所得的余数都是1，偶数除以2所得的余数都是0，所以根据，且，可知数列是周期数列，周期为3，根据周期性可得答案.【详解】因为数列中的奇数除以2所得的余数都是1，偶数除以2所得的余数都是0，因为，且，所以为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，，为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，，所以，，，，，，，，，，，，所以数列是周期数列，周期为3，所以数列的前100项和为：.故选：C.【点睛】本题考查了数的整除问题，考查了数列的周期性，考查了利用数列的周期性求和，属于基础题.9.设数列的前n项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不是充分也不是必要条件【答案】A【解析】【分析】根据题意，分别判断充分性和必要性是否成立即可.【详解】数列中，对任意，，则，所以数列为递增数列，充分性成立；当数列为递增数列时，， 即，所以，，如数列不满足题意，必要性不成立；所以“对任意，”是“数列为递增数列”的充分不必要条件.故选：A10.已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的解析式，可求导函数，根据导函数与单调性的关系，可以得到；分离参数，根据所得函数的特征求出的取值范围.【详解】因为所以因为在上是单调减函数所以即所以当时，恒成立当时， 令，可知双刀函数，在上为增函数，所以即所以选C【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）..11.若函数，则（）A.函数只有极大值没有极小值B.函数只有最大值没有最小值C.函数只有极小值没有极大值D.函数只有最小值没有最大值【答案】CD【解析】【分析】由导数法研究函数的极值、最值.【详解】，单调递增，由，则.∴函数有唯一极小值，即最小值，没有极大值、最大值.故选：CD.12.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用互为反函数的两个函数图象关于直线对称，可将问题转化为求到直线距离的最小值，利用切线找到距离最近的点即可解决问题. 【详解】∵函数与函数互为反函数，∴函数与函数的图象关于直线对称，∴的最小值是点到直线的最短距离的2倍，设曲线上斜率为1的切线为，∵，由得，即切点为（，2），∴，∴切线到直线的距离，∴两点间的最短距离为2=．故选:B．二、填空题13.在四棱锥中，面，四边形为直角梯形，，，，则平面与平面夹角的余弦值为______，异面直线与的距离为______．【答案】①.②.【解析】【分析】第一空，建系利用空间向量求解即可；第二空，与的距离即为到平面的距离，即点C到面的距离，用等体积求解即可．【详解】第一空，∵⊥面，，面，∴，．又∵，∴，∴，，两两垂直．∴以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，，，，，设，分别为平面与平面的法向量，则，即，令，取，，即，令，取，则，设平面与平面的夹角为θ，则，∴平面与平面夹角的余弦值为．第二空，如图，取中点M，连接，，∵，，∴四边形为平行四边形，∴，∵面，面，∴面，∴与的距离为到面的距离，即点C到面的距离．设点C到面的距离为h， ，，由，得，解得，∴异面直线与的距离为．故答案为：，.14.圆的圆心到直线的距离______.【答案】3【解析】【分析】由标准方程得到圆心，再由点到直线的距离得到结果.【详解】由已知可得圆的标准方程为，圆心为，所以圆心到直线的距离，故答案为：3.15.已知N为抛物线上的任意一点，M为圆上的一点，，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意画出示意图，由图中几何关系取线段中点，中点，连接，可证得所以，即，可得，即可将转化为，然后根据当、、三点不共线时，，当、、三点共线时，，将问题转化为的最小值即为的最小值，再根据两点间距离公式求出的最小值即可. 【详解】根据题意可得抛物线与圆都关于轴对称，且圆的圆心坐标为，半径为.因为，圆下方与轴交点坐标为，取线段中点，中点，可得，连接，画出示意图如上图所示.因为、分别为和的中点，所以，，所以，又因为，，所以，所以，因为，所以，所以，当且仅当、、三点共线时取到等号，此时点为线段与圆的交点.所以的最小值即为的最小值.因为N为抛物线上的任意一点，设，，因为，则，当时，，即最小值为.故答案为：.16.定义在R上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为____. 【答案】【解析】【分析】令，易得在R上递减，再由，得到是以4为周期的周期函数，然后由，得到，由求解.【详解】解：令，则，所以在R上递减，又，则，即，所以是以4为周期周期函数，又，则，所以，则，所以不等式的解集为，故答案为：三、解答题：17.如图，三棱柱的侧棱底面，，E是棱上的动点，F是的中点，，，． （1）当是棱的中点时，求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值是？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得平面；（2）以为坐标原点，射线、、分别为轴、轴、轴正半轴建立空间直角坐标系，设点，利用空间向量法可得出关于的方程，结合的取值范围可求得的值，由此可得出结论.【详解】（1）证明：取的中点，连接、．、分别是、的中点，且，在三棱柱中，且，为中点，则且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面； （2）以为坐标原点，射线、、分别为轴、轴、轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则、、，，设，平面的一个法向量为，则，由，得，令，可得，易得平面的一个法向量为，二面角的余弦值为，即整理得，，解得.因此，在棱上存在点，使得二面角的余弦值是，此时． 【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的动点问题，考查计算能力与推理能力，属于中等题.18.已知圆心为的圆经过点，.（1）求圆的标准方程；（2）已知在圆C外，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设圆的标准方程为：，代入，，求解即可；（2）因为在圆C外，所以，代入求解即可.【小问1详解】解：设圆的标准方程为：，代入，，得，解得：，所以圆的标准方程为：；【小问2详解】解：因为在圆C外，所以，又因为，，所以，解得或，所以的取值范围为：.19.如图1，已知抛物线的方程为，直线的方程为，直线交抛物线于 两点为坐标原点.（1）若，求的面积的大小；（2）的大小是否是定值？证明你的结论；（3）如图2，过点分别作抛物线的切线和（两切线交点为），分别与轴交于，求面积的最小值.【答案】19.120.是定值，证明见解析21.【解析】【分析】（1）求得的坐标，进而求得的面积.（2）通过证明来得到的大小是定值.（3）利用导数求得切线方程，求得的坐标，进而求得面积的表达式，并根据二次函数的性质求得其最小值.【小问1详解】当时，直线的方程为，由解得，所以的面积为.【小问2详解】由（1）中发现等腰直角三角形，猜测.证明：， 得，即，，所以，所以为定值.【小问3详解】，对函数求导得到，所以方程为，整理得，同理方程为，分别令得到，，解得，由第（2）小题，，得到，所以，所以面积的最小值为.【点睛】求直线和圆锥曲线交点的坐标，可以通过联立方程组来进行求解，如果含有参数，则可以考虑利用根与系数关系来对问题进行求解，此时如果直线和圆锥曲线有两个不同的公共点，则需要利用判别式来进行确认.20.已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，若，且，，，成等差数列．（1）求数列，的通项公式；（2）记，数列的前项和为，数列的前项和为，若对任意正整数，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】 【分析】（1）分别根据，和成等差数列，分别表示为和的方程组，求出首项，即得通项公式；（2）根据（1）的结果可求得，并且求出,利用裂项相消法求和，转化为，恒成立，转化为求数列的最值.【详解】解：（1）因为，，成等差数列，所以①，又因为，，成等差数列，所以，得②，由①②得，．所以，.（2），...令，则，则，所以，当时，，当时，所以的最小值为.又恒成立，所以，．【点睛】本题考查了数列通项的求法，和求数列的前项和的方法，以及和函数结合考查数列的最值，尤其在考查数列最值时，需先判断函数的单调性，判断的正负，根据单调性求函数的最值.21.已知函数．（1）求函数的单调区间与极值；（2）求函数在区间上的最值．【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是，极大值是，极小值是（2）最大值为，最小值为．【解析】【分析】（1）对求导，根据导数的正负确定函数的单调区间，进一步确定极值即可； （2）根据极值和端点值即可确定最值.【小问1详解】．令，得或；令，得，所以的单调递增区间是，单调递减区间是．所以的极大值是，的极小值是．【小问2详解】因为，由（1）知，在区间上，有极小值，所以函数在区间上的最大值为，最小值为．