浙江省宁波市效实中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学 Word版含解析.docx

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宁波效实中学2023学年高一第一学期期中考试卷数学试题考生须知:1.本卷满分100分,考试时间120分钟;2.答题前,在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号;3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效;4.考试结束后,只需上交答题卷.第Ⅰ卷(选择题部分,共40分)一、选择题:本题共8小题.每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.命题“,”的否定为()A.,B.,C.,D.,【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.【详解】由题意可得:命题“,”的否定为“,”.故选:C.2.“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式,再由充分条件、必要条件判断即可.【详解】由可得,解得或,因为成立推不出或,而或成立不能推出,故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选:D3.函数()的图象必经过点() A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】令即可求解.【详解】令,则,代入函数,解得,则函数()的图象必经过点.故选:D4.设,,则的值为()A.B.C.27D.26【答案】B【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质化简求值即可.【详解】因为,,所以,故选:B5.函数的图象可以看成将某个奇函数的图象()A向左平移1个单位得到B.向左平移个单位得到C.向右平移1个单位得到D.向右平移个单位得到【答案】B【解析】【分析】根据函数的平移变换规则判断即可.【详解】可以由向左平移个单位得到,其中定义域为且,即为奇函数.故选:B 6.函数的定义域为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合分式不等式运算求解.【详解】由题意可得:,因为,原不等式等价于,等价于,解得或,所以函数的定义域为.故选:C.7.若不等式对任意实数恒成立,则实数的最小值为()A.0B.4C.D.5【答案】D【解析】【分析】通过分离常量,将恒成立问题转化成求最值,利用函数的单调性求解即可.【详解】当时,恒成立,即恒成立,令,当且时,,则,当且时,,则,可得在上单调递减,在上单调递增,又,所以最大值为, ∴,则实数的最小值为5.故选:D.8.已知函数,,则使成立的实数m的取值范围为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】跟函数的单调性、奇偶性化简不等式,由此求得的取值范围.【详解】依题意,,由解得,所以的定义域为.由,解得,所以的定义域为,由于,所以是偶函数.当时,为增函数,所以当时,为减函数.由得,所以,解得.故选:A【点睛】求解含有函数符号的不等式的方法,主要是考虑奇偶性、单调性、定义域等方面,特别是定义域是很容易忽略的地方,求解函数的性质前,首先必须求得函数的定义域,要在函数的定义域的范围内来对函数进行研究. 二、选择题:本题共4小题.每小题4分,共16分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得4分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列函数与表示同一函数的是()A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据同一函数的概念判断即可.【详解】的定义域为.,与定义域与对应关系均相同,故A正确;,与定义域与对应关系均相同,故B正确;的定义域为,与定义域不同,故C错误;的定义域为,与定义域不同,故D错误.故选:AB.10.下列说法中正确的是()A.若,则B.若,则C.若,,则D.若,,则【答案】ABD【解析】【分析】根据不等式的性质,即可判断.【详解】对A,若,则,A正确;对B,若,则,则,B正确;对C,若,,设,此时,C错误; 对D,若,,则,则,D正确.故选:ABD11.已知正实数a,b满足,则下列选项中正确的是()A.的最大值为B.的最小值为4C.的最大值为D.的最小值为【答案】BD【解析】【分析】根据基本不等式,结合已知条件判断、、、的最值,注意不等式等号成立的条件,进而判断各项的正误.【详解】对A,由,又,所以,当且仅当时等号成立,A错误;对B,,当且仅当时等号成立,B正确;对C,由得,即,当且仅当时等号成立,C错误;对D,由,当且仅当时等号成立,D正确.故选:BD12.已知函数,,用表示m,n中的最大值,,记函数,则下列选项中正确的是()A.方程有3个解B.方程最多有4个解C.的解集为÷D.方程在上的根为【答案】ABC【解析】 【分析】根据定义求得的表达式,作出的图象,利用图象可判断ABD,结合的图象分类讨论解不等式判断C.【详解】由得或,即此时,时,,作出的图象,如图,由图象可知,有两个解,有一个解,即有3个解,A正确;例如时,由得或,显然与都有2个解,因此有4个解,又与都最多有2个解,因此B正确;作出的图象和直线,如下图,由得,由,解得或,结合的图象与直线知C正确; 时,,由得的解是(舍去),时,,由得(舍去),时,由得,无解,时,由得,化简或,或,只有符合题意,其它均舍去,因此在上的解是和,D错.故选:ABC.第Ⅱ卷(非选择题部分,共60分)三、填空题:本题共4小题.每小题3分,共12分.13.已知,则解析式为______________.【答案】【解析】【分析】利用换元法求函数解析式.【详解】令,则,可得, 所以.故答案为:.14.已知集合,若,则实数a的值为______________.【答案】或0【解析】【分析】根据元素与集合关系列式求解,利用元素的互异性进行验证.【详解】由题意,,若,此时,符合题意;若,则,此时,不符合题意;若,则或,时,,不符合题意;时,,符合题意,综上,或.故答案为:或0.15.设函数在区间上单调递增,则a的取值范围是______________.【答案】【解析】【分析】根据题意,由复合函数的单调性,列出不等式,代入计算,即可得到结果.【详解】函数在上单调递增,而函数在区间上单调递增,故需在区间上单调递增,即,即.则a的取值范围是.故答案为:16.函数,的值域为______________.【答案】【解析】 【分析】由题意分析可得关于x的方程有正根,分和两种情况,结合二次函数分析求解.【详解】因为,整理得,可知关于x的方程有正根,若,则,解得,符合题意;若,则,可得或,解得或且,则或或;综上所述:或,即函数,的值域为.故答案为:.四、解答题:本题共6小题,共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算:(1);(2)已知,求的值.【答案】(1)(2)1【解析】【分析】(1)指数的运算法则及性质化简求解; (2)根据式子的结构特征,利用完全平方公式及立方和公式化简即可得解.【小问1详解】【小问2详解】因为,所以,即,所以,即,所以.18.设集合,.(1)当时,求;(2)若,求实数m的取值范围.【答案】18.或19.且【解析】【分析】(1)求集合与,再结合并集的概念计算即可;(2)因为,所以,分和两种情况讨论,由列不等式组,求解集即可.【小问1详解】由题意得,当时,,所以或, 所以或.【小问2详解】因为,所以,当,即时,,满足.当时,,不满足题意,当,即时,要使成立,只需即.综上,当时,m的取值范围是且.19.已知函数.(1)判断在上单调性并证明;(2)当时,,且,,求的解析式.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)根据单调性的定义证明,设,且,;(2)由转化为,设时,则,代入解析式,即可求解.【小问1详解】设,且,,,,则,即,所以上单调递增.【小问2详解】当时,, 由,,即,当时,则,则,则当时,,故函数的解析式为.20.(1)若,,求实数a的取值范围;(2)若,,求实数x的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据全称命题为真,分类讨论不等式恒成立即可;(2)根据存在性命题为真,转化为不等式有解,求最大值后解不等式即可.【详解】(1)因为,,①当时,不等式对成立,符合题意.②当时,若不等式对恒成立,则,解得,综上,实数a的取值范围.(2),,即,,所以,而在上单调递增,所以,解得, 故实数x的取值范围.21.已知函数.(1)若在R上单调递增,求实数a的取值范围;(2)求在区间上的最大值.【答案】(1)(2)答案见解析【解析】【分析】(1)分和两种情况,结合分段函数单调性分析求解;(2)分类讨论在区间上的单调性,结合单调性求最值.【小问1详解】因为在R上单调递增,则有:若,则,因为在定义域内单调递增,且,所以符合题意;若,则,解得,综上所述:实数a的取值范围.【小问2详解】因为,则,(i)若,可知在上单调递增,最大值为; (ⅱ)若,则开口向上,对称轴,可知在上单调递增,最大值为;(ⅲ)若,则开口向下,对称轴,①当,即时,可知在上单调递减,最大值为;②当,即时,可知在上单调递增,最大值为;③当,即时,可知在上单调递增,在上单调递减,所以最大值为;综上所述:若,在区间上的最大值为;若,在区间上的最大值为;若,在区间上的最大值为.22.黎曼函数是一个特殊的函数,是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出,在数学中有广泛的应用.黎曼函数定义在上,.(1)请用描述法写出满足方程解集;(直接写出答案即可)(2)解不等式;(3)探究是否存在非零实数,使得为偶函数?若存在,求k,b应满足条件;若不存在,请说明理由.【答案】(1)为大于1的正整数(2)(3)存在,【解析】 【分析】(1)根据黎曼函数的定义,分类讨论求解;(2)根据黎曼函数的定义,分类讨论求解;(3)根据黎曼函数的定义,分类讨论可证得,则关于对称,即,则为偶函数,即可得解.【小问1详解】依题意,,当时,,则方程无解,当为内的无理数时,,则方程无解,当(为既约真分数)时,则,为大于1的正整数,则由方程,解得,为大于1的正整数,综上,方程的解集为为大于1的正整数.【小问2详解】若或或为内无理数时,,而,此时,若(为既约真分数),则,为大于1的正整数,由,得,解得,又因为(为既约真分数),所以,综上,不等式的解为.【小问3详解】存在非零实数,使得为偶函数,即为偶函数,证明如下: 当或时,有成立,满足,当为内的无理数时,也为内的无理数,所以,满足,当(为既约真分数),则为既约真分数,所以,满足,综上,对任意,都有,所以关于对称,即,则为偶函数,所以,存在非零实数,使得为偶函数.

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