四川省成都市成华区某校2023-2024学年高一上学期12月月考数学 Word版含解析.docx

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高一数学试卷一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列关系或运算中①，②，③，④正确的个数为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据元素与集合的关系判断①②，根据子集概念判断③，根据集合的交集判断④.【详解】①正确；②空集不含任何元素，故错误；③因为空集是任何集合的子集，故正确；④因为，为点的集合，故，故错误.所以正确的个数为2.故选：B2.已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ）A.B.C.D.或【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的定义及单调性求解即可.【详解】因为幂函数在上单调递减，所以且，解得，故选：A3.下列每组中的两个函数是相同函数的是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数定义域与解析式进行判断即可.【详解】选项A中，函数，即的对应关系不同，故不是同一函数；选项B中，显然的对应关系不同，故不是同一函数；选项C中，函数的定义域为，的定义域为，不是同一函数；选项D中，函数的定义域为，且，所以是同一个函数；故选：D．4.若角的终边过点，则(　　)A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义求得正确答案.【详解】由于，所以.故选：C5.函数f（x）=A.（-2,-1）B.（-1,0）C.（0,1）D.（1,2）【答案】C【解析】【详解】试题分析：，所以零点在区间（0，1）上考点：零点存在性定理 6.已知弧长为的扇形圆心角为，则此扇形的面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意求出扇形半径，再根据扇形的面积公式即可得解.【详解】解：设扇形的半径为，因为弧长为的扇形圆心角为，所以，所以，所以此扇形的面积为.故选：C.7.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20⁓79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(其中取)（）A.7小时B.6小时C.5小时D.4小时【答案】B【解析】【分析】根据已知条件列不等式，由此求得正确答案.【详解】设需要休息小时，依题意，，，两边取以为底的对数得，所以，所以至少需要小时.故选：B8.已知且、都不等于，则下列不等式不一定成立的是（    ）AB.若，则 C.D.【答案】D【解析】【分析】由且都不等于，则得，然后根据不等式性质可对A判断，利用作差法可对B判断，利用指数函数性质可对C判断，利用对数函数性质及特殊值可对D判断.【详解】由题意知且都不等于，所以，对A：由，所以，故A一定成立；对B：，故B一定成立；对C：，故C一定成立；对D：由，不妨设，则，，故D不一定成立.故选：D.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列说法正确的是（）A.命题“”的否定为“”B.命题“，一元二次方程有实根”的否定为假命题C.“、为无理数”是“为无理数”的充分不必要条件D.“”是“”的必要不充分条件【答案】BD【解析】【分析】A.利用含有一个量词的命题的否定的定义判断；B.利用判别式判断；C.举例判断；D.利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】A.因为命题“”是存在量词命题，所以其否定全称量词命题，即为“”，故错误；B.因为，所以命题“，一元二次方程有实根”是真命题，所以其否定为假命题，故正确； C.若，则，故不充分，故错误；D.当时，，故充分性不成立，当时，则，即，且，则，故必要性成立，故正确；故选：BD10.设函数，则（）A.当时，函数有最小值B.当时，函数是增函数C.当时，函数有最小值为D.存在正实数，使得函数在上单调递增【答案】CD【解析】【分析】选项A，举特殊情况时，在区间上单调递增，此时函数没有最小值；选项B，函数在处不连续，函数不是增函数；选项C，利用基本不等式求出最小值即可；选项D，对的取值分类讨论，其中时，利用复合函数和对勾函数寻找正实数判断单调性即可.【详解】函数的定义域是，对于选项A，当时，在区间上函数和都单调递增，故在区间上单调递增，此时函数没有最小值，选项A错误；对于选项B，定义域是，函数在处不连续，函数不是增函数，选项B错误；对于选项C，，则（时等号成立），函数有最小值为，选项C成立； 对于选项D，当时，在区间上单调递增，此时存在正实数，使得函数在上单调递增；当时，设，，由得：，，，所以，成立，在区间上单调递增，此时存在正实数，使得函数在上单调递增；选项D正确；故选：CD.11.下列四组图象中，每组分别都是两个函数的图象，其中两个函数图象与解析式对应可能正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据每个选项中两个函数的图象，求出实数的取值范围，然后观察每个选项中实数的范围是否一致，即可得出合适的选项.【详解】对于A选项，指数函数在上单调递减，则，可得，对数函数在上为增函数，则，A满足条件； 对于B选项，对数函数在上为减函数，则，由幂函数在第一象限内的图象可知，，取，令，该函数的定义域为，，此时函数为奇函数，B满足条件；对于C选项，函数为减函数，且该函数的图象交轴于点，由图可得，解得，函数的图象在第二、四象限，则，C不满足条件；对于D选项，函数为减函数，且该函数的图象交轴于点，由图可得，解得，由幂函数在第一象限的图象可知，，取，令，该函数的定义域为，，此时，函数为偶函数，合乎题意，D满足条件.故选：ABD.12.设函数满足：对任意实数、都有,且当时，.设.则下列命题正确的是（）A.B.函数有对称中心C.函数为奇函数D.函数为减函数【答案】ABC【解析】【分析】令，可得，再令，判断选项A；令，即可判断选项B；由，判断选项C；令,利用函数的单调性定义进行判断选项D.【详解】由对于任意实数，， 令，则，即,再令,则，即，故A正确;令，则，即，故B正确；由，则，即是奇函数，故C正确；对于任意,则，当时，，则，所以单调递增，即单调递增，故D错误.故选：ABC三、填空题：本题共4小题．13.函数（，且）必过定点__________.【答案】【解析】【分析】根据指数函数的性质，即可求解.【详解】因为，且，所以令，得，此时，所以函数必过定点.故答案为：14.已知函数是定义在上的偶函数，且对区间上的任意，，当时，都有．若实数满，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系建立不等式，解之可得答案.【详解】因为对区间上的任意，，当时，都有，所以函数 在上单调递减，又函数是定义在上的偶函数，所以函数在上单调递增，实数满，所以，两边平方得，解得，故答案为：.15.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据复合函数单调性求出在上单调递减，再由在上单调递减，得到，进而求得a的取值范围.【详解】令，则.因为在上单调递减，在上单调递增，在R上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减.因为在上单调递减，所以有，解得.故答案为：16.设函数的定义域为，且满足，则不等式的解集是_______.【答案】 【解析】【分析】由题意利用换元法得到关于的函数，判断出的奇偶性和单调性，然后将不等式变形，由单调性和定义域得到关于的不等式，求解即可.【详解】令，则，由，得，所以，，因为，所以函数为奇函数，因为，而在其定义域内单调递增，则在其定义域内单调递减，所以函数单调递增，而不等式可变形为，所以，由，解得，由，解得，由，令，得，即，所以，则，综上，. 故答案为：.【点睛】方法点睛：本题考查函数的性质，利用函数的奇偶性和单调性解不等式，脱掉“”是解有关函数不等式的常用方法.四、解答题：本题共6小题，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂以及根式的运算求解；（2）根据对数的运算求解.【小问1详解】原式=；【小问2详解】原式=.18.已知角终边上有一点，且.（1）求的值，并求与的值；（2）化简并求的值.【答案】（1），，（2）【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数的定义依次计算得到答案.（2）根据诱导公式化简得到原式等于，计算得到答案.【小问1详解】，，解得.故，.【小问2详解】.19.设点是奇函数图象上的动点，且时满足.（1）求时，函数的解析式；（2）用定义法证明：函数在上单调递减；（3）当时，求的最小值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据题意，求出当时，函数的解析式，然后利用奇函数的性质可求出当时，函数的解析式；（2）任取、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论；（3）当时，可得出，利用基本不等式可求得的最小值.【小问1详解】当时，由得，则，当时，，则，因为函数为奇函数，则. 所以，.【小问2详解】由（1）知，对任意的、且，有，因为，，，，所以，，即，所以，在上单调递减.【小问3详解】由（1）知，当时，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.20.学校数学学习小组在假期社会实践活动中，对某公司的一种产品销售情况的调查发现：受不可抗力因素影响，该种产品在2022年8月份（价格浮动较大的一个月，以31天计）的最后7天无法进行销售，日销售单价（单位：千元/千克）与第天（，）的函数关系满足（k为正实数）．因公司数据保存不当，只能查到该产品的日销售量（单位：千克）与的如下数据：，，，已知第4天该产品的日销售收入为256千元（日销售收入日销售单价日销售量）．（1）给出以下三种函数模型：①；②；③，请你根据上述数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该产品在2022年8月份的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式；（2）在（1）的基础上，求出该公司在2022年8月份第1天到第12天中，该产品日销售收入（单位，千元）的最小值．【答案】（1）； （2）最小值为250千元.【解析】【分析】（1）由第4天该产品的日销售收入及求出k，再由销量的变化关系及函数模型选择函数的关系式，再代入计算作答.（2）利用（1）的函数模型求出的表达式，再求出当时，的最小值作答.【小问1详解】当时，由，得，即，（，），因为，，则，而，即日销售量数据有增有减，显然，模型①②都是单调函数，不符合题意，选择模型③，将，代入模型③得：，解得，所以模型③的函数解析式为.【小问2详解】由（1）知，当时，，，因此，当且仅当，即时取等号，所以当时，该产品日销售收入最小，最小值为250千元.【点睛】思路点睛：涉及实际应用问题，在理解题意的基础上，找出分散的数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，恰当引入变量，将实际问题转化、抽象为数学问题作答.21.已知函数 （1）作出函数的图象（不写作法），并根据图象写出函数的单调区间；（2）设函数有四个零点，且，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）根据二次函数及对数函数图象作出函数图象，再根据函数图象写出单调区间即可；（2）依题意的图象与直线有四个不同的公共点，根据二次函数的对称性可求出，根据对数函数的性质可求出的关系，进而可得出答案.【小问1详解】图象如图所示：的单调递增区间：，的单调递减区间：；【小问2详解】依题意的图象与直线有四个不同的公共点，其横坐标分别为，且，由二次函数图象对称性可知：，由知，则，，，由，得， 令，则，故，由对勾函数的性质可得函数在上单调递减，所以，即的取值范围为.22.已知函数是偶函数，是奇函数．（1）求实数的值；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】22.，23.【解析】【分析】（1）根据奇函数偶函数性质运算即可求出参数，注意检验.（2）首先根据的单调性化简不等式，进一步通过换元法，将不等式转换为恒成立即可，分类讨论即可求解.【小问1详解】由题知函数定义域均为，∵是偶函数，∴即，即此时，而此时，所以，且定义域关于原点对称，满足题意，∵是奇函数，∴此时， 所以，且定义域关于原点对称，满足题意.【小问2详解】在上单调递增，故有对恒成立，又，∴对恒成立.令由知.则有对恒成立.即对恒成立.令只需即可.又对称轴为，当即时，在上单调递增，只需即可.∴当即时，在上单调递减，在上单调递增.∴解得∴综上所述，的取值范围为