湖南省永州市2023-2024学年高三上学期第一次模拟检测数学（原卷版）.docx

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永州市2024年高考第一次模拟考试数学试卷注意事项：1．全卷满分150分，时量120分钟．2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．3．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.2.复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量，且，则（）A.2B.1C.0D.4.“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（）AB.C.D.6.已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（）A.B.C.D.7.若数列的前项和为，则下列结论正确的是（） A.B.C.D.8.已知函数，若，在区间上没有零点，则的取值共有（）A.4个B.5个C.6个D.7个二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列关于概率统计说法中正确的是（）A.两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱B.设随机变量，若，则C.在回归分析中，为0.89的模型比为0.98的模型拟合得更好D.某人解答10个问题，答对题数为，则10.对数的发明是数学史上的重大事件．我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），下列结论正确的是（）真数2345678910（近似值）0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000真数111213141516171819（近似值）1.0411.0791.1141.1461.1761.2041.23012551.279A.在区间内B.是15位数C若，则 D.若是一个35位正整数，则11.菱形的边长为，且，将沿向上翻折得到，使二面角的余弦值为，连接，球与三棱锥的6条棱都相切，下列结论正确的是（）A.平面B.球的表面积为C.球被三棱锥表面截得的截面周长为D.过点与直线所成角均为的直线可作4条12.已知函数与的定义域均为，，且，为偶函数，下列结论正确的是（）A.4为一个周期B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为________（用数字作答）．14.在平行六面体中，为的中点，过的平面分别与棱交于点，且，则________（用表示）．15.若函数，当时，，则实数的取值范围________．16.已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于两点，与线段相交于点，且．若是线段上靠近的四等分点，则抛物线的方程为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列． （1）求数列的通项公式；（2）设，求的前项和．18.在中，设所对的边分别为，且满足．（1）求角；（2）若的内切圆半径，求的面积．19.如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且分别为的中点，在线段上，且．（1）求证：平面；（2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值．20.某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品，其中能通过行业标准检测的概率分别为，且是否通过行业标准检测相互独立．（1）设新品通过行业标准检测的品种数为，求的分布列；（2）已知新品中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025，现从足量的新品中任意抽取一件进行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过．如果抽取次数的期望值不超过5，求的最大值．参考数据：21.已知点A为圆上任意一点，点坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点．（1）求点的轨迹的方程；（2）设轨迹E与轴分别交于两点（在的左侧），过的直线与轨迹交于两点，直线与直线的交于，证明：在定直线上． 22.已知函数．（1）当时，求证：；（2）若时，，求实数的取值范围．