中考数学真题专练《与二次函数相关的压轴题（二）》专题分项冲刺题

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中考数学真题专练《与二次函数相关的压轴题（二）》专题分项冲刺题2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）专题22与二次函数相关的压轴题解答题1．(湖北鄂州)某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2(a＞0)型抛物线图象．发现:如图1所示,该类型图象上任意一点M到定点F(0,)的距离MF,始终等于它到定直线l:y＝﹣上的距离MN(该结论不需要证明),他们称:定点F为图象的焦点,定直线l为图象的准线,y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点,FH=2OF=,例如,抛物线y＝x2,其焦点坐标为F(0,),准线方程为l:y＝﹣．其中MF=MN,FH=2OH=1．   (1)【基础训练】请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程:,．(2)【技能训练】如图2所示,已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6,求点P的坐标;(3)【能力提升】如图3所示,已知过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF,AF＝4,求a的值;(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比”问题:点C将一条线段AB分为两段AC和CB,使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项,即满足:＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．如图4所示,抛物线y＝x2的焦点F(0,1),准线l与y轴交于点H(0,﹣1),E为线段HF的黄金分割点,点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时,请直接写出△HME的面积值．

1中考数学真题专练《与二次函数相关的压轴题（二）》专题分项冲刺题2．(江苏无锡)已知二次函数图像的对称轴与x轴交于点A(1,0),图像与y轴交于点B(0,3),C、D为该二次函数图像上的两个动点(点C在点D的左侧),且．(1)求该二次函数的表达式;(2)若点C与点B重合,求tan∠CDA的值;(3)点C是否存在其他的位置,使得tan∠CDA的值与(2)中所求的值相等?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由．3．(山西)综合与探究:如图,二次函数的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点,设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D,作直线BC交PD于点E(1)求A,B,C三点的坐标,并直接写出直线BC的函数表达式;(2)当是以PE为底边的等腰三角形时,求点P的坐标;(3)连接AC,过点P作直线,交y轴于点F,连接DF．试探究:在点P运动的过程中,是否存在点P,使得,若存在,请直接写出m的值;若不存在,请说明理由．

2中考数学真题专练《与二次函数相关的压轴题（二）》专题分项冲刺题4．(四川宜宾)如图,抛物线与x轴交于、两点,与y轴交于点,其顶点为点D,连结AC．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标;(2)在抛物线的对称轴上取一点E,点F为抛物线上一动点,使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形,求点F的坐标;(3)在(2)的条件下,将点D向下平移5个单位得到点M,点P为抛物线的对称轴上一动点,求的最小值．5．(湖北恩施)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线与y轴交于点．(1)直接写出抛物线的解析式．(2)如图,将抛物线向左平移1个单位长度,记平移后的抛物线顶点为Q,平移后的抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形,并说明理由．

3中考数学真题专练《与二次函数相关的压轴题（二）》专题分项冲刺题(3)直线BC与抛物线交于M、N两点(点N在点M的右侧),请探究在x轴上是否存在点T,使得以B、N、T三点为顶点的三角形与相似,若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由．(4)若将抛物线进行适当的平移,当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时,请直接写出拋物线平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．6．(广西玉林)如图,已知抛物线:与x轴交于点A,(A在B的左侧),与y轴交于点C,对称轴是直线,P是第一象限内抛物线上的任一点．(1)求抛物线的解析式;(2)若点D为线段的中点,则能否是等边三角形?请说明理由;(3)过点P作x轴的垂线与线段交于点M,垂足为点H,若以P,M,C为顶点的三角形与相似,求点P的坐标．

4中考数学真题专练《与二次函数相关的压轴题（二）》专题分项冲刺题7．(广西)已知抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)．(1)求点A,点B的坐标;(2)如图,过点A的直线与抛物线的另一个交点为C,点P为抛物线对称轴上的一点,连接,设点P的纵坐标为m,当时,求m的值;(3)将线段AB先向右平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度,得到线段MN,若抛物线与线段MN只有一个交点,请直接写出a的取值范围．8．(福建)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线经过A(4,0),B(1,4)两点．P是抛物线上一点,且在直线AB的上方．(1)求抛物线的解析式;(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标;(3)如图,OP交AB于点C,交AB于点D．记△CDP,△CPB,△CBO的面积分别为,,．判断是否存在最大值．若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由．

5中考数学真题专练《与二次函数相关的压轴题（二）》专题分项冲刺题9．(贵州黔东南)如图,抛物线的对称轴是直线,与轴交于点,,与轴交于点,连接．(1)求此抛物线的解析式;(2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点,过点作轴,垂足为点,交直线于点,是否存在这样的点,使得以,,为顶点的三角形是等腰三角形．若存在,请求出点的坐标,若不存在,请说明理由;(3)已知点是抛物线对称轴上的点,在坐标平面内是否存在点,使以点、、、为顶点的四边形为矩形,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由．10．(湖南长沙)若关于x的函数y,当时,函数y的最大值为M,最小值为N,令函数,我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．(1)①若函数,当时,求函数y的“共同体函数”h的值;②若函数(,k,b为常数),求函数y的“共同体函数”h的解析式;(2)若函数,求函数y的“共同体函数”h的最大值;(3)若函数,是否存在实数k,使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值．若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由．11．(湖北武汉)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线的顶点为A,与y轴交于点C,线段

6中考数学真题专练《与二次函数相关的压轴题（二）》专题分项冲刺题轴,交该抛物线于另一点B．(1)求点B的坐标及直线的解析式:(2)当二次函数的自变量x满足时,此函数的最大值为p,最小值为q,且．求m的值:(3)平移抛物线,使其顶点始终在直线上移动,当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时,设此时抛物线的顶点的横坐标为n,请直接写出n的取值范围．12．(内蒙古通辽)如图,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,直线方程为．(1)求抛物线的解析式;(2)点为抛物线上一点,若,请直接写出点的坐标;(3)点是抛物线上一点,若,求点的坐标．13．(山东烟台)如图,已知直线y＝x+4与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y＝ax2+bx+c经过A,C两点,且与x轴的另一个交点为B,对称轴为直线x＝﹣1．

7中考数学真题专练《与二次函数相关的压轴题（二）》专题分项冲刺题(1)求抛物线的表达式;(2)D是第二象限内抛物线上的动点,设点D的横坐标为m,求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标;(3)若点P在抛物线对称轴上,是否存在点P,Q,使以点A,C,P,Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形?若存在,请求出P,Q两点的坐标;若不存在,请说明理由．14．(山东聊城)如图,在直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点,对称轴为直线,顶点为点D．(1)求二次函数的表达式;(2)连接DA,DC,CB,CA,如图①所示,求证:;(3)如图②,延长DC交x轴于点M,平移二次函数的图象,使顶点D沿着射线DM方向平移到点且,得到新抛物线,交y轴于点N．如果在的对称轴和上分别取点P,Q,使以MN为一边,点M,N,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求此时点Q的坐标．

8中考数学真题专练《与二次函数相关的压轴题（二）》专题分项冲刺题15．(黑龙江齐齐哈尔)综合与探究如图,某一次函数与二次函数的图象交点为A(-1,0),B(4,5)．(1)求抛物线的解析式;(2)点C为抛物线对称轴上一动点,当AC与BC的和最小时,点C的坐标为;(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点,过点D作DE⊥x轴,交线段AB于点E,求线段DE长度的最大值;(4)在(2)条件下,点M为y轴上一点,点F为直线AB上一点,点N为平面直角坐标系内一点,若以点C,M,F,N为顶点的四边形是正方形,请直接写出点N的坐标．16．(湖南)如图,已知抛物线的图像与轴交于,两点,与轴交于点,点为抛物线的顶点．

9中考数学真题专练《与二次函数相关的压轴题（二）》专题分项冲刺题(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标;(2)若四边形为矩形,．点以每秒1个单位的速度从点沿向点运动,同时点以每秒2个单位的速度从点沿向点运动,一点到达终点,另一点随之停止．当以、、为顶点的三角形与相似时,求运动时间的值;(3)抛物线的对称轴与轴交于点,点是点关于点的对称点,点是轴下方抛物线图像上的动点．若过点的直线与抛物线只有一个公共点,且分别与线段、相交于点、,求证:为定值．17．(内蒙古包头)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A,B两点,点B的坐标是,顶点C的坐标是,M是抛物线上一动点,且位于第一象限,直线与y轴交于点G．

10中考数学真题专练《与二次函数相关的压轴题（二）》专题分项冲刺题(1)求该抛物线的解析式;(2)如图1,N是抛物线上一点,且位于第二象限,连接,记的面积分别为．当,且直线时,求证:点N与点M关于y轴对称;(3)如图2,直线与y轴交于点H,是否存在点M,使得．若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由．18．(广西梧州)如图,在平面直角坐标系中,直线分别与x,y轴交于点A,B,抛物线恰好经过这两点．(1)求此抛物线的解析式;(2)若点C的坐标是,将绕着点C逆时针旋转90°得到,点A的对应点是点E．①写出点E的坐标,并判断点E是否在此抛物线上;②若点P是y轴上的任一点,求取最小值时,点P的坐标．19．(辽宁锦州)如图,抛物线与x轴交于两点(A在B的左侧),与y轴交于点,点P在抛物线上,连接．

11中考数学真题专练《与二次函数相关的压轴题（二）》专题分项冲刺题(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,若点P在第四象限,点D在线段上,连接并延长交x轴于点E,连接,记的面积为,的面积为,当时,求点P的坐标;(3)如图2,若点P在第二象限,点F为抛物线的顶点,抛物线的对称轴l与线段交于点G,当时,求点P的横坐标．20．(辽宁)如图,抛物线交x轴于点和,交y轴于点C．(1)求抛物线的表达式;(2)D是直线上方抛物线上一动点,连接交于点N,当的值最大时,求点D

12中考数学真题专练《与二次函数相关的压轴题（二）》专题分项冲刺题的坐标;(3)P为抛物线上一点,连接,过点P作交抛物线对称轴于点Q,当时,请直接写出点P的横坐标．21．(辽宁营口)在平面直角坐标系中,抛物线经过点和点,与y轴交于点C,点P为抛物线上一动点．(1)求抛物线和直线的解析式;(2)如图,点P为第一象限内抛物线上的点,过点P作,垂足为D,作轴,垂足为E,交于点F,设的面积为,的面积为,当时,求点P坐标;(3)点N为抛物线对称轴上的动点,是否存在点N,使得直线垂直平分线段?若存在,请直接写出点N坐标,若不存在,请说明理由．22．(四川广安)如图,在平面直角坐标系中,抛物线(a≠0)的图象与x轴交于A、C两点,与y轴交于点B,其中点B坐标为(0,－4),点C坐标为(2,0)．

13中考数学真题专练《与二次函数相关的压轴题（二）》专题分项冲刺题(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点,连接AD、BD,探究是否存在点D,使得△ABD的面积最大?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由．(3)点P为该抛物线对称轴上的动点,使得△PAB为直角三角形,请求出点P的坐标．23．(海南)如图1,抛物线经过点,并交x轴于另一点B,点在第一象限的抛物线上,交直线于点D．(1)求该抛物线的函数表达式;(2)当点P的坐标为时,求四边形的面积;(3)点Q在抛物线上,当的值最大且是直角三角形时,求点Q的横坐标;(4)如图2,作交x轴于点,点H在射线上,且,过的中点K作轴,交抛物线于点I,连接,以为边作出如图所示正方形,当顶点M恰好落在y轴上时,请直接写出点G的坐标．24．(内蒙古呼和浩特)如图,抛物线经过点和点,与轴的另一个交点为,连接、．

14中考数学真题专练《与二次函数相关的压轴题（二）》专题分项冲刺题(1)求抛物线的解析式及点的坐标;(2)如图1,若点是线段的中点,连接,在轴上是否存在点,使得是以为斜边的直角三角形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图2,点是第一象限内抛物线上的动点,过点作轴,分别交、轴于点、,当中有某个角的度数等于度数的2倍时,请求出满足条件的点的横坐标．25．(吉林)如图,在平面直角坐标系中,抛物线(,是常数)经过点,点．点在此抛物线上,其横坐标为．(1)求此抛物线的解析式;(2)当点在轴上方时,结合图象,直接写出的取值范围;(3)若此抛物线在点左侧部分(包括点)的最低点的纵坐标为．①求的值;②以为边作等腰直角三角形,当点在此抛物线的对称轴上时,直接写出点的坐标．26．(黑龙江哈尔滨)在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线经过点,点,与y轴交于点C．

15中考数学真题专练《与二次函数相关的压轴题（二）》专题分项冲刺题(1)求a,b的值;(2)如图1,点D在该抛物线上,点D的横坐标为,过点D向y轴作垂线,垂足为点E．点P为y轴负半轴上的一个动点,连接、设点P的纵坐标为t,的面积为S,求S关于t的函数解析式(不要求写出自变量t的取值范围);(3)如图2,在(2)的条件下,连接,点F在上,过点F向y轴作垂线,垂足为点H,连接交y轴于点G,点G为的中点,过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N,连接,,延长交于点M,点R在上,连接,若,,求直线的解析式．27．(湖北宜昌)已知抛物线与轴交于,两点,与轴交于点．直线由直线平移得到,与轴交于点．四边形的四个顶点的坐标分别为,,,．(1)填空:______,______;(2)若点在第二象限,直线与经过点的双曲线有且只有一个交点,求的最大值;(3)当直线与四边形、抛物线都有交点时,存在直线,对于同一条直线上的交点,直线与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标．①当时,直接写出的取值范围;②求的取值范围．

16中考数学真题专练《与二次函数相关的压轴题（二）》专题分项冲刺题28．(四川达州)如图1,在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象经过点,,与y轴交于点C．(1)求该二次函数的表达式;(2)连接,在该二次函数图象上是否存在点P,使?若存在,请求出点P的坐标:若不存在,请说明理由;(3)如图2,直线l为该二次函数图象的对称轴,交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点,过点Q作直线,分别交直线l于点M,N,在点Q的运动过程中,的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由．29．(重庆)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与直线交于点,．

17中考数学真题专练《与二次函数相关的压轴题（二）》专题分项冲刺题(1)求该抛物线的函数表达式;(2)点是直线下方拋物线上的一动点,过点作轴的平行线交于点,过点作轴的平行线交轴于点,求的最大值及此时点的坐标;(3)在(2)中取得最大值的条件下,将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位,点为点的对应点,平移后的抛物线与轴交于点,为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点,使得以点,,,为顶点的四边形是平行四边形,写出所有符合条件的点的坐标,并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．30．(江苏苏州)如图,在二次函数(m是常数,且)的图像与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E,与x轴交于点F．连接AC,BD．(1)求A,B,C三点的坐标(用数字或含m的式子表示),并求的度数;(2)若,求m的值;(3)若在第四象限内二次函数(m是常数,且)的图像上,始终存在一点P,使得,请结合函数的图像,直接写出m的取值范围．