重庆市铜梁中学校2022-2023学年高一下学期期中数学Word版含解析

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铜梁中学2025级高一期中考试数学试卷一、单选题1.已知，是坐标原点，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据向量线性运算可得，由坐标可得结果.【详解】故选：【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.2.若是方程的两个根，则（）A.B.1C.D.2【答案】C【解析】【分析】利用韦达定理和正切的两角和公式求解即可.【详解】因为是方程两个根，由韦达定理得，，所以，故选：C3.下列函数最小正周期不是为的函数是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出各选项中函数的最小正周期，可得出合适的选项.

1【详解】对于A选项，令，该函数定义域为，，作出函数的图象如下图所示：结合图象可知，函数的最小正周期为，A选项满足；对于B选项，令，则该函数的最小正周期为，B选项满足；对于C选项，函数的最小正周期为，C选项满足；对于D选项，函数的最小正周期为，D选项不满足.故选：D.4.如图，在中，，点是的中点，设，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】连结，根据向量加法三角形法则有，由题意，再转化为，整理即可得结论.【详解】解：连结，在中，因为，点是的中点，

2所以,故选：B.5.在中，角，，的对边分别为，，，向量与平行．若，，则A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由向量的坐标运算和正弦定理的边角互化，求得，得到，再由余弦定理列出方程，即可求解，得到答案．【详解】由题意知，向量，所以，由正弦定理可得，又，则，即，因为，所以，又因为，，由余弦定理，即，即，解得（负根舍去），故选D．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，以及向量的坐标运算的应用，其中解答中熟练应用向量的坐标运算，以及合理应用正弦定理的“边角互化”，以及余弦定理列方程是解答的关键着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．6.设，，，则有（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式、诱导公式、两角差的正弦公式，化简，再利用正弦函数的单调性比较大小．

3【详解】因为，，，函数单调递增，所以，即.故选：C.【点睛】本题考查正弦函数的单调性、二倍角公式、两角和差的三角公式的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力.7.在，角A，B，C的边分别为a，b，c，且，则的周长为（）A.13B.20C.18D.15【答案】B【解析】【分析】由正弦定理结合和的正弦公式化简可得，求得，由得，由余弦定理可求出，即可求出周长.【详解】由及正弦定理得，整理得．∵，∴，∴，又，∴，故，，；∴，∴．由余弦定理得，

4即，解得．∴．故选：B．【点睛】思路点睛：解三角形中，余弦定理和三角形的面积公式经常综合在一起应用，解题时要注意余弦定理中的变形，如，这样借助于和三角形的面积公式联系在一起．8.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为1，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为1的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（　　）A.3B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．【详解】以为坐标原点，为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，圆的方程为，可设，所以．

5故．所以的最大值为故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于较难题.二、多选题9.下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（    ）A.的虚部为B.在复平面内对应的点在第二象限C.的共轭复数为D.若，则的最大值是【答案】CD【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数，利用复数的概念可判断A选项；利用复数的几何意义可判断B选项；利用共轭复数的定义可判断C选项；利用复数模的三角不等式可判断D选项.【详解】因为，则.对于A选项，的虚部为，A错；对于B选项，复数在复平面内对应的点在第三象限，B错；对于C选项，的共轭复数为，C对；对于D选项，因为，，由复数模的三角不等式可得，当且仅当时，等号成立，即的最大值是，D对.故选：CD.10.已知向量、、是三个非零向量，下列说法正确的有（    ）A.若，则与共线且反向

6B.若，，则C.向量、、是三个非零向量，若，则D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断AD选项；利用平面向量共线的基本定理可判断B选项；利用平面向量垂直的数量即表示可判断C选项.【详解】对于A选项，由可得，即，即，因为、都是非零向量，则，因为，则，即与共线且反向，A对；对于B选项，因为、、是三个非零向量，且，，则存在非零实数、，使得，，则，故，B对；对于C选项，向量、、是三个非零向量，若，则，所以，或，C错；对于D选项，因为，则，所以，，整理可得，因为、都是非零向量，所以，，D对.故选：ABD.11.将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是（    ）A.函数的图象关于点对称B.函数的图象最小正周期为

7C.函数的图象在上单调递增D.函数的图象关于直线对称【答案】ABD【解析】【分析】经过变换得到，对于选项利用周期公式可以判断，对于选项，利用整体角的方法进行求解判断即可.【详解】解：将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到，即.对于选项：令，解得，当时，，所以是对称中心，所以选项正确.对于选项：因为最小正周期为：，得，所以选项正确.对于选项：令，解得，所以的递增区间为，，当时，递增区间为，选项不是子集，显然错误.对于选项：解得，当时，，所以选项正确.故选：.12.已知内角、、所对的边分别为、、，以下结论中正确的是（    ）A.若，，，则该三角形有两解B.若，则一定为等腰三角形C.若，则一定为钝角三角形D.若，则是等边三角形【答案】CD【解析】【分析】利用余弦定理可判断AC选项；利用余弦定理边角互化可判断B

8选项；利用余弦函数的有界性可判断D选项.【详解】对于A选项，由余弦定理可得，即，即，因为，解得，此时，只有一解，A错；对于B选项，因为，即，整理可得，所以，或，故为等腰三角形或直角三角形，B错；对于C选项，因为，由正弦定理可得，所以，，则为钝角，即为钝角三角形，C对；对于D选项，因为、、，则，，，所以，，，，又因为，则，所以，，则，此时，为等边三角形，D对.故选：CD.三、填空题13.已知复数为纯虚数，则________【答案】【解析】【分析】根据纯虚数的定义，可求得的值．【详解】因为是纯虚数，属于根据纯虚数定义可知且可解得，故答案为3.【点睛】本题考查了纯虚数的定义，注意实部为0且虚部不为0，属于基础题．

914._____【答案】##【解析】【分析】利用诱导公式结合两角差的余弦公式可求得所求代数式的值.【详解】原式.故答案为：.15.求的最小值是_____【答案】##0.5【解析】【分析】先应用换元法,再应用二次函数最值求解即得.【详解】,令,当,.故答案为:16.如图，为了测量河对岸的塔高AB，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，并测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高___________.

10【答案】【解析】【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在中，由正切函数的定义即可求得，由此解答即可.【详解】因为在中，，，，所以，由正弦定理得，即，解得，中，，所以，故塔高.故答案为：.四、解答题17.已知向量、的夹角为，且，.（1）求的值；（2）求与的夹角的余弦.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由题意求出，再由向量模的计算公式，即可得出结果；（2）先由题意，求出，再由向量夹角公式，即可得出结果.

11【小问1详解】∵向量、的夹角为，且，，所以，∴；【小问2详解】由题意，，∴.18.中，已知向量，，且．（1）求A；（2）若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，可得，根据数量积的坐标表示及正弦定理将角化边，再利用余弦定理计算可得；（2）由（1）可得且，利用基本不等式及三角形面积公式计算可得；【小问1详解】解：设中，角的对边分别为，∵，∴又，，∴，即，

12∴由正弦定理得，∴由余弦定理得，又∵∴.【小问2详解】解：由（1）得，又∵∴即且∴面积又由基本不等式得即当且仅当取等号∴面积故面积的最大值为19.已知向量，，且.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用可求，从而可得，然后可求；（2）利用可得，结合平方关系可求.【详解】（1）因为，，，所以，即；

13因为，所以，所以.（2）因为，，所以,因为，所以，整理得，因为，所以.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算及三角函数求值，稍具综合性，向量垂直及模长的转化是题目求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.20.如图，在梯形中，，.（1）求证：；（2）若，，求的长度.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）在和中，分别利用正弦定理可得，，再由，可得，所以得，再结合已知条件可得，从而可证得结论；（2）在中，由余弦定理可求得，，在中，再利用余弦定理结合四边形为梯形可求出，【小问1详解】证明：在中，由正弦定理得，即，因为，所以，所以，在中，由正弦定理得，即，所以.

14又，所以，即.【小问2详解】解：由（1）知.在中，由余弦定理得，故.所以.在中，由余弦定理得，即，整理可得，解得或.又因为为梯形，所以.21.在△中，角的对边分别为，，（1）若，求的值；（2）设，当取最大值时求A的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式，化简方程，可得，利用余弦定理，可求的值；（2）利用二倍角、辅助角公式，化简，结合的范围，即可得取最大值时求的值．【详解】解：（1），，即，舍去），又，，由余弦定理，可得，

15，或，时，，，与三角形内角和矛盾，舍去，；（2），，，，当，即时，．22.已知向量，，若函数的最小正周期为.（1）求的单调递增区间：（2）若关于的方程在有实数解，求的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求出函数的周期，得到，然后求解函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间；（2）化简方程为：，令，原方程化为，整理，等价于在有解，利用参变量分离法可知

16在上有解，利用双勾函数的单调性可求得实数取值范围.【小问1详解】解：因为，，，因为且函数的最小正周期为，则，解得，所以，，由可得，所以，函数的单调递增区间为.【小问2详解】解：，，，方程，即方程，因为，则，设，，，原方程化为，整理，方程等价于在在有解，

17设，当时，方程为得，故；当时，在上有解在上有解，问题转化为求函数上的值域，设，则，，，设，任取、且，则，当时，，，则，当时，，，则，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，的取值范围是，在上有实数解或.

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