浙江省湖州市三贤联盟2021-2022学年高二上学期期中联考数学Word版含答案

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湖州市三贤联盟2021-2022学年高二上学期期中联考数学试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在空间坐标系中，点关于轴的对称点为A.B.C.D.2.在平面直角坐标系中，直线的斜率是A.B.C.D.3.已知向量，且与互相垂直，则k＝A.B.C.D.4.“且”是“方程表示椭圆”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.已知直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆=2上，则面积的取值范围是A.B.C.D.高二数学学科试题第13页(共4页)

16.已知椭圆的左右焦点分别为,,离心率为,若椭圆上存在点,使得,则该离心率的取值范围是A.B.C.D.7.如图，某市有相交于点的一条东西走向的公路与一条南北走向的公路，有一商城的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1（单位：千米）．根据市民建议，欲新建一条公路，点，分别在公路，上，且要求与椭圆形商城相切，当公路长最短时，(第7题图)的长为A.B.C.D.8.在三棱锥中，两两垂直且相等，若空间中动一点满足，其中且.记与平面所成的角为，则的最大值为A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知直线经过点，且直线的一个方向向量为，则下列结论中正确的是A.在轴上的截距为B.的倾斜角等于高二数学学科试题第13页(共4页)

2C.与直线垂直D.向量为直线的一个法向量10.若，分别为，上的动点，且∥，下面说法正确的有A.直线的斜率为定值B.当时，的最小值为C.当的最小值为1时，D.11.直线与曲线恰有一个交点，实数可取下列哪些值A.B.C.1D.12.在正三棱柱中，，点满足，其中，，则A.当时,的周长为定值B.当时,三棱锥的体积为定值C.当时，有且仅有一个点，使得D.当时，有且仅有一个点，使得平面高二数学学科试题第13页(共4页)高二数学学科试题第13页(共4页)高二数学学科试题第13页(共4页)

3非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，，若，，共面，则实数＝▲.14.过点作圆的切线，则切线的方程为▲.15.经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，则线段的长为▲．16.舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具，如图，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处的铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动.当点在滑槽内作往复移动时，带动点绕转动，点也随之而运动.记点的运动轨迹为,点的运动轨迹为.若，，过(第16题图)上的点向作切线，则切线长的最大值为▲．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)如图，在平行六面体中，，.求：(Ⅰ)；(Ⅱ)的长.高二数学学科试题第13页(共4页)

4(第17题图)18.(本小题满分12分)已知直线经过点.（Ⅰ）当在两坐标轴上的截距相等时，求的方程；（Ⅱ）若与轴、轴的正半轴分别相交于、两点，当三角形的面积最小时，求的方程.19.(本小题满分12分)如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成．已知隧道总宽度为，行车道总宽度为，侧墙高，为，弧顶高为.(Ⅰ)以所在直线为轴，所在直线为轴，为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程；(Ⅱ)为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部(设为平顶)在竖直方向上的高度之差至少为，问车辆通过隧道的限制高度是多少？高二数学学科试题第13页(共4页)

5(第19题图)20.(本小题满分12分)已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?(第20题图)21.(本小题满分12分)已知两个定点,，动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线.（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；（Ⅱ）若是直线上的动点，过作曲线的两条切线,，切点为，，探究：直线是否过定点若有，请求出定点，否则说明理由．22.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,过椭圆高二数学学科试题第13页(共4页)

6右焦点的直线交于，两点，为的中点，且的斜率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知,为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值.高二数学学科试题第13页(共4页)

7湖州市三贤联盟2021-2022学年高二上学期期中联考数学学科参考答案题号123456789101112答案CACBACDBACDABDACBD13.14.15.16.10.简解1：已知且，点的可行域为三棱锥的表面及其内部.设三棱锥中，则三棱锥中棱.与平面所成的角的正弦值即转化为与平面所成的角的正弦值.取的中点，则，过作交的延长线于点.点即点在平面内的投影，且点落在外部.所以当点取点时，取到最大值.此时，，，，进一步解得.简解2:由上面分析可知，当点取点时，取到的最大值，如图建立坐标系，则平面的法向为，，此时.高二数学学科试题第13页(共4页)

816.简解：点在以为圆心，1为半径的圆周上()，点在以为圆心，3为半径的圆周上()，当、、三点共线时，线段取到最大值4，此时上的点作的切线，切线长取到最大值为.17.解析：(1)…………………（3分）；…………………（5分）(2)………（7分），所以..………………（10分）18.（1）在两坐标轴上的截距相等，当直线不经过原点时，设它的方程为，把点代入可得，故的方程为，即.……………………………（3分）当直线过原点时，设它的方程为，把点代入可得，故的方程为，即.……………………………………（5分）综上可得，直线的方程为或.（2）设直线的方程为，则.………..（6分）得，当且仅当时，等号成立，………..（8分）此时△面积最小，最小值为48.直线的方程为，即.…………………（10分）19．(1)由题意，有．∵所求圆的圆心在轴上，∴设圆的方程为，高二数学学科试题第13页(共4页)

9∵)都在圆上，∴解得∴圆的标准方程是................................................................（6分）(2)设限高为，作，交圆弧于点(图略)，则.将点的横坐标代入圆的方程，得，得或(舍去)．∴．故车辆通过隧道的限制高度为....................（12分）20.因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以因为，，所以，又，所以平面．所以两两垂直．（需证明后方可建系，否则适当扣分）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．所以，．.......................................................（2分）由题设（）．（1）因为，所以，所以．..................................................（5分）（2）设平面的法向量为，高二数学学科试题第13页(共4页)

10因为，所以，即．令，则...........................................（7分）因为平面的法向量为，设平面与平面的二面角的平面角为，则．当时，取最小值为，此时取最大值为．........................................（10分）所以，此时．.............（12分）21.（1）设点，由可得，，整理可得  ，  所以曲线的轨迹方程为．................（5分）（2）依题意，，则都在以为直径的圆上，是直线上的动点，设，则圆的圆心为，且经过坐标原点，即圆的方程为，又因为在曲线上，由可得，高二数学学科试题第13页(共4页)

11即直线的方程为，..............................................（10分）由且，可得，解得.所以直线是过定点...............................................（12分）22.把右焦点代入直线，得............（1分）设，的中点为，则，相减得，即，即，即.又，则又，解得，故椭圆的方程为..............（5分）（2）联立消去，可得，解得或.故交点为，所以.......................................（7分）因为，所以可设直线的方程为，，因为直线与直线有交点，所以.高二数学学科试题第13页(共4页)

12联立消去，可得，因为直线与椭圆有两个不同的交点，则，解得，所以.又，则，.........（10分）故四边形的面积为，故当时，取得最大值，最大值为，所以四边形的面积的最大值为...................（12分）高二数学学科试题第13页(共4页)