关于广义幂等矩阵的性质的探讨

《关于广义幂等矩阵的性质的探讨》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、湖北师范学院数学与统计学院2014届学士学位论文关于广义幂等矩阵的性质的探讨左航（导师：谢涛）（湖北师范学院数学与统计学院湖北黄石）1.引言在高等代数中，矩阵是代数学的一个重要研究对象，也是数学研究中不可缺少的工具。我们把满足的矩阵A叫做幂等矩阵，把满足的线性变换叫做幂等变换。文【1，2】已给出了幂等矩阵与幂等变换的性质和等价条件。本文试图通过引入k次幂等矩阵和k次幂等变换的概念，来推广幂等矩阵和幂等变换，并讨论它们的性质。同时由于可逆矩阵对处理矩阵问题的重要性，文中在可逆幂等矩阵的基础上给出可逆n阶k次幂等矩阵的定义，并总结出相关的一些性

2、质。而且在计量经济学中对于大多数经济现象进行比较静态分析的结果，都可以合理地归结为一个线性经济模型Ax=b，其中的系数矩阵A往往是一个幂等矩阵。为此，也有必要对幂等矩阵展开理论方面的深入研究。1.幂等矩阵定义1.1任何一个满足幂等关系的矩阵称为幂等矩阵。显然，n阶零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。关于幂等矩阵，目前已有一些结论，我们选择其中一些性质列举如下：1.1.1幂等矩阵的特征值只取0和1两个数值；1.1.2所有的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是奇异矩阵；1.1.3所有幂等矩阵的秩与迹相等，即；1.1.4若为幂等矩阵，则也为幂等矩阵；1.1.5

3、若为幂等矩阵，则也为幂等矩阵所有对称的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是半正定的；1.1.6令nn幂等矩阵的秩为r,则有个特征1和个特征值0；21湖北师范学院数学与统计学院2014届学士学位论文1.1.7所有的幂等矩阵都可对角化的：；1.1.8一个对称的幂等矩阵可以表示为，其中满足；1.1.9设有全矩阵，则是一个幂等矩阵；1.1.10若方阵B是幂等矩阵，则和也是幂等矩阵；1.1.11若n阶方阵A为幂等矩阵，则它的秩满足R(A)+R(E-A)=n。2.k次幂等变换与k次幂等矩阵定义2.1把满足的矩阵A叫做k次幂等矩阵，把满足的线性变换叫做k次幂等变

4、换。显然，幂等矩阵(变换)必是2次幂等矩阵(变换)，对合矩阵是3次幂等矩阵，所以，k次幂等矩阵(变换)是幂等矩阵(变换)与对合矩阵(变换)的统一和推广。另外，容易验证以下命题：命题2.1设是以n维线性空间V的基，那么，V上的任意k次幂等变换关于该基的矩阵是k次幂等矩阵。反过来，任意k次幂等矩阵都是某个k次幂等变换关于该基的矩阵。从而，k次幂等矩阵与k次幂等变换有平行的性质。定义2.2设A是k次幂等矩阵，把叫做A的k-余矩阵，记为。把的k-余矩阵记为。设是k次幂等变换，把叫做A的k-余变换，记为。把的k-余变换记为。之所以把叫做的余变换，我们

5、会在定理3之后说明原因。为了论述方便，我们把本文需要的有关概念和结论陈述如下：定义2.3【3】设是线性空间V上的线性变换，把叫做的核，把的维数叫做的零度。把叫做的值域，把的维数叫做的秩，记为。定义2.4【4】设W1,是线性空间V的子空间，如果，我们称是的余子空间。引理2.1【3】设A是n级矩阵，r(A)表示A的秩，则21湖北师范学院数学与统计学院2014届学士学位论文（1）；（2）如果AB=0,那么引理2.2【3,4】设是以n维线性空间V的基，线性变换关于该基的矩阵是A，那么的列空间；其次线性方程组。性质定理2.1如果是V上的线性变换，那么

6、，是k次幂等变换。证明显然设有所以使得从而即故设，，，由于21湖北师范学院数学与统计学院2014届学士学位论文所以即于是定理2.2如果是V上的线性变换，那么，是k次幂等变换。证明设有即所以反过来，使得，从而即故从而设故即有定理2.3如果是V上的线性变换，那么是k次幂等变换。并且如果是k次幂等变换，那么有证明设由故有定理2.1可知，，故且从而于是设于是故即再由定理2.1和定理2.2易得定理3说明，如果是V上的k次幂等变换，那么是的k-余子空间【4】，是的余子空间，这正是定义4中把叫做余变换的原因。21湖北师范学院数学与统计学院2014届学士学

7、位论文定理2.4n级矩阵A为最次幂等矩阵。平行地，n维线性空间V上的线性变换为k幂等变换。证明设在基下的矩阵为A，则在基下的矩阵为，则由引理2.2又知，：由定理2.3和引理2.2直接得到，：设即由于故但故由定理3便知，为k次幂等变换，从而A为k次幂等矩阵。定理2.5设A为k次幂等矩阵，则A的任意正整数次幂也为k次幂等矩阵。平行地，设为k次幂等变换，则的任意正整数次幂也为k次幂等变换。证明设m为任意正整数，。定理2.6设A为k次幂等矩阵，则。平行地，设为n维线性空间V上的k次幂等变换，则。证明由定理5可知，为k幂等矩阵，故，由引理1得。但显然

8、，所以。定理2.7设A为k次幂等矩阵，则有。证明由定理4得，。由定理6得，。故有。定理8A是k次幂等矩阵平行地，如果是k次幂等变换。证明设，有，同理得，设。即，所以A是k次幂等矩