2022-2023学年高一数学学科素养能力培优竞赛试题专练03 （原卷版）

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第3讲高一学科素养能力竞赛函数与性质专题训练【题型目录】模块一：易错试题精选模块二：培优试题精选模块三：全国高中数学联赛试题精选【典例例题】模块一：易错试题精选【例1】若函数的定义域为，且函数的定义域为，则实数的取值范围是______．【例2】已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是___________.【例3】函数的值域为，则实数的取值范围为______．【例4】函数不恒为零，且满足，若，则A．0B．-2C．2D．4【例5】已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且，则f（x）＝（       ）A．B．C．D．【例6】已知函数是偶函数，且则【例7】已知是定义在上的奇函数，当时，，则___________，在上的解析式为___________.【例8】已知函数，则=（）A.-1B.0C.1D.2【例9】设函数，则使得成立的的取值范围是（A）（B）（C）（D）

1【例10】已知函数，当，，且时，，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【例11】若是定义域为上的单调递减函数，且对任意实数都有无理数，则（）A．3B．C．D．【例12】设函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，则f（x）（　　）A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递增C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递增【例13】函数在上是减函数,则实数的取值范围为________.【例14】已知是定义在上的奇函数，且对任意，若都有成立，则关于的不等式的解为_________【例15】设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______.模块二：培优试题精选【例1】定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（       ）A．B．C．D．

2【例2】设函数的定义域为，且是奇函数，当时，；当时，．当变化时，方程的所有根从小到大记为，则取值的集合为（       ）A．B．C．D．【例3】已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数m的值为（       ）A．3B．C．D．【例4】已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数a的取值范围是（       ）A．B．C．D．【例5】关于函数有下述四个结论：①的图象关于直线对称       ②在区间单调递减③的极大值为0                           ④有3个零点其中所有正确结论的编号为（       ）A．①③B．①④C．②③④D．①③④【例6】已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（       ）A．B．函数在上是减函数C．D．不等式的解集为【例7】函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（       ）A．B．C．D．

3【例8】已知，函数的值域是，则下列结论正确的是（       ）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，【例9】给出定义：若，则称为离实数最近的整数，记作．在此基础上给出下列关于函数的四个结论，其中正确的是（       ）A．函数的定义域为R，值域为B．函数的图象关于直线对称C．函数是偶函数D．函数在上单调递增【例10】已知，函数，若存在最小值，则的取值范围是__________.【例11】已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________.【例12】已知函数，若对任意，当时，总有成立，则实数的最大值为__________.【例13】已知函数，若（且），则a的取值范围为__________．【例14】已知函数，若存在，使得在上单调，且在上的值域为，则m的取值范围为______．【例15】定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，．

4(1)求证：函数是奇函数；(2)求证：在上是减函数；(3)若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围．【例16】已知是定义在实数集上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两个实根，称为函数的特征根.(1)讨论函数的奇偶性，并说明理由；(2)求的表达式；(3)把函数在上的最大值记作，最小值记作，令，若恒成立，求实数的取值范围.【例17】设函数且．(1)判断函数的奇偶性；(2)若，试判断函数的单调性．并求使不等式对一切恒成立的的取值范围；(3)若，且在上的最小值为，求的值．【例18】双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：①定义域均为，且在上是增函数；②为奇函数，为偶函数；③（常数是自然对数的底数，）．利用上述性质，解决以下问题：(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；(2)证明：对任意实数，为定值；(3)已知，记函数，的最小值为，求．【例19】已知函数.(1)解关于x的不等式；(2)当时，对∀，都有恒成立，求实数t的取值范围；(3)当时，对∀，都有恒成立，求实数t的取值范围.

5【例20】已知函数，，(1)当时，求的单调区间；(2)若与在上的单调区间和单调性相同，试探究方程的实根的个数.【例21】对于函数，如果对于定义域中任意给定的实数，存在非负实数，使得恒成立，称函数具有性质．(1)判别函数，和，是否具有性质，请说明理由；(2)函数，，若函数具有性质，求满足的条件；(3)若函数的定义域为一切实数，的值域为，存在常数且具有性质，判别是否具有性质，请说明理由．【例22】已知函数.(1)若，求的值；(2)若，求在上的最小值；(3)若方程有个不相等的正实数根、、，且，证明：.【例23】已知函数（）.(1)当时，求的单调增区间；(2)当时，的最大值为，求实数a的取值范围.【例24】已知，函数．(1)当，请直接写出函数的单调递增区间和最小值（不需要证明）；(2)记在区间上的最小值为，求的表达式；(3)对（2）中的，当，恒有成立，求实数的取值范围．模块三：全国高中数学联赛试题精选

6【例1】【2019年重庆预赛】函数fx=1+x+1−x−31−x2+1的最小值为m，最大值为M，则Mm=________.【例2】【2022年新疆预赛】已知函数，则不等式的解集为________.【例3】【2019年重庆预赛】设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，对任意x>0有f(x)>−4x，f(f(x)+4x)=3，则f(8)=.【例4】【2019年广西预赛】已知xyz+y+z=12,则log4x+log2y+log2z的最大值为.【例5】【2019高中数学联赛A卷（第01试）】已知正实数a满足aa=(9a)8a，则loga(3a)的值为.【例6】【2018年福建预赛】函数f(x)=log313x⋅log3(3x2)的最小值为________.【例7】【2018年福建预赛】若函数f(x)=x2－2ax+a2－4在区间[a－2，a2](a>0)上的值域为[－4，0]，则实数a的取值范围为________.【例8】【2018年北京预赛】已知实数a,b,c,d满足5a=4,4b=3,3c=2,2d=5，则abcd2018=________.【例9】【2018年北京预赛】已知函数fx满足fx+1x=x2+1x2，那么fx的值域为_______.【例10】【2018年湖北预赛】设fx是定义在0,+∞上的单调函数，若对任意的x∈0,+∞，都有ffx−2log2x=4，则不等式fx<6的解集为______.【例11】【2018年甘肃预赛】关于x的方程lgax+1=lgx−1+lg2−x有唯一实数解，则实数a的取值范围是______．【例12】【2018年天津预赛】若a为正实数，且fx=log2ax+2x2+1是奇函数，则不等式fx>32的解集是_____________【例13】【2018年河南预赛】已知函数fx=−12x2+x，若fx的定义域为m,nm1，则n的值为______．

7【例14】【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上严格递减，且满足f(π)=1，f(2π)=2，则不等式组1⩽x⩽21⩽f(x)⩽2的解集为.【例15】【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)+x2是奇函数，f(x)+2x是偶函数，则f(1)的值为.【例16】【2017年福建预赛】函数fx=2x−7+12−x+44−x的最大值为.【例17】【2017年广东预赛】设fx是定义在R上的奇函数,f1=2,当x>0时,fx是增函数,且对任意的x,y∈R,都有fx+y=fx+fy,则函数fx在−3,−2上的最大值是.【例18】【2017年湖南预赛】已知函数fx满足fm+n=fmfn,f1=3,则f21+f2f1+f22+f4f3+f23+f6f5+f24+f8f7=.【例19】【2017年新疆预赛】已知函数fx是R上的减函数,且是奇函数.若m、n满足不等式组fm+fn−2≤0,fm−n−1≤0,则5m−n的取值范围是.【例20】【2016年全国】设正实数u、v、w均不等于1.若loguvw+logvw=5,logvu+logwv=3，则logwu的值为________.【例21】【2016年上海预赛】不等式log112x2+2x−3>x2+2x−16的解集为___________。【例22】【2016年湖北预赛】已知函数fx满足f(1)=2，且f(x+1)=1+f(x)1−(fx)对定义域内任意的x均成立．则f(2016)=_________.【例23】【2015年浙江预赛】设函数fx=minx2−1,x+1,−x+1，其中，minx,y,z表示x、y、z中的最小者.若fa+2>fa，则实数a的取值范围是______.【例24】【2015年上海预赛】对整数n≥3，记fn=log23×log34×⋯×logn−1n.则f22+f32+⋯+f102=_________.【例25】【2015年四川预赛】若4a=6b=9c，则1a−2b+1c=_________。

8【例26】【2015年山东预赛】设函数的最大值为，最小值为，则=___________.【例27】【2015年辽宁预赛】已知实数a、b满足a+lga=10,b+10b=10.则lga+b=______.【例28】【2015年湖北预赛】函数fx=1+x+1−x+21−x2+1的值域为__________.【例29】【2015年福建预赛】已知fx=x+gx，其中，x是定义在R上、最小正周期为2的函数.若fx在区间2,4上的最大值为1，则fx在区间10,12上的最大值为__________.