雅礼中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题+Word版含解析

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雅礼中学2022年高一上学期第一次检测数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．命题“，”的否定为（）A．，B．，C．，D．，【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论可得，命题“，”的否定为：，．故选：C．2．已知集合，，则（）A．B．C．D．【分析】直接进行交集的运算即可．【解析】解：∵，；∴．故选：D．3．等式成立的充要条件是（）A．B．C．D．【分析】根据、取值分类讨论即可．【解析】解：当、同号或为0时满足等式，当、异号时不满足等式，等式成立的充要条件是．故选：．第12页共12页学科网（北京）股份有限公司

14．若，则有（）A．最小值1B．最小值2C．最大值1D．最大值2【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解析】解：∵，∴，当且仅当，时取等号．因此的最小值为2．故选：B．5．图中阴影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．【分析】由图象可知元素属于但不属于，则阴影部分对应的集合为．【解析】解：由图，元素属于但不属于，即阴影部分对应的集合为，故选：A．6．已知实数x，y满足，，则y的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】利用不等式的性质进行运算即可得出．【解析】解：令，，则，∵，，即，∴第12页共12页学科网（北京）股份有限公司

2∴即故选：C．7．已知集合，，则（）A．B．C．D．【分析】由集合，，推导出，由此能求出．【解析】解：任取则，，，，∴．故选：A．8．已知不等式的解集为R，且不等式的解集为R，则的解集是（）A．B．C．D．不能确定【答案】B【解析】∵不等式的解集为R；不等式的解集为R∴解得：∴转化为∵，抛物线开口向上∴不等式恒成立即不等式的解集为故选：B．第12页共12页学科网（北京）股份有限公司

3二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列条件中，是“”成立的必要条件的是（）A．B．C．D．【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．【解析】解：∵，∴使成立的一个必要条件是或，故选：CD．10．对于函数f：A→B，若，则下列说法正确的是（）A．B．有且只有一个C．若，则D．若，则【分析】根据函数的定义得到、、正确，通过举反例可得错误，从而得到答案．【解析】解：对于函数，，，则根据函数的定义，（a），且（a）唯一，故有若，则集合不满足互异性，此时有（a）（b），故，，都正确，若（a）（b），则不一定有，如，则（1），但，故错误，故选：ABD．11．已知非零实数a，b，c满足，，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【分析】利用不等式的性质逐个判断各个选项即可．【解析】解：对于，，，，，故正确，对于，当，，时，满足，，但是，故错误，对于，当，，时，满足，，但是，故错误，对于，，，第12页共12页学科网（北京）股份有限公司

4，故正确，故选：．12．下列说法正确的是（）A．“且”是“”的充要条件B．若，，则C．方程有一正一负根的充要条件是D．若实数a，b满足，，，则的最小值为2【分析】对选项进行逐个验证，即可选出答案．【解析】解：选项是一个充分不必要条件，“”时，，可以均小于零；，A错误；选项，，，则，故选项错误；选项C，方程有一正一负根的充要条件是，，故选项C正确．选项D，，，，则的最小值为2，故选项D正确；故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某年级先后举办了数学、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，有61人听了音乐讲座，有12人同时听了数学、音乐讲座，则听了讲座总人数为________人．【解析】∵75人听了数学讲座，有61人听了音乐讲座，有12人同时听了数学、音乐讲座∴只听了数学讲座有75－12=63（人）；只听了音乐讲座有61－12=49（人）∴听了讲座总人数为12+63+49=124（人）故答案为：12414．已知集合A={a，b}，a，，若，则________．【分析】推导出或，从而，或，，由此能求出．【解析】解：集合，，，，，第12页共12页学科网（北京）股份有限公司

5或，，或，，．故答案为：0．15．已知，，，求的最小值________；【分析】由得且，得，展开后再利用基本不等式可求得答案．【解析】解：由得且，又，，所以，当且仅当且即、时等号成立，取得最小值3．故答案为：3．16．已知集合M={1，2，3，…，2022}，，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0，设集合A的累积值为S．（1）若S=3，则这样的集合A共有________个；（2）若S为偶数，则这样的集合A共有________个．【分析】对重新定义问题，要读懂题意，用列举法来解，先看出集合是集合的子集，则可能的情况有种，再分情况讨论．【解析】解：若S=3，据“累积值”的定义，得或，，这样的集合共有2个．因为集合的子集共有个，其中“累积值”为奇数的子集为，，，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个．故答案为2，13．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第12页共12页学科网（北京）股份有限公司

617．（10分）已知集合．（1）若集合B={a，2a+2}，且A=B，求a的值；（2）若集合，且，求a的取值．【分析】（1）利用集合相等的条件求的值，但要注意验证；（2）由得，再利用集合子集的元素关系求解．【解析】解：（1）由得或，，，因为，所以或，解得或，故．（2）因为，所以．当时，；当时，，解得；当时，，解得．综上，的取值为或或．18．（12分）已知二次函数．（1）求函数的值域；（2）若存在使成立，求实数k的取值范围．【解析】（1）∵第12页共12页学科网（北京）股份有限公司

7∵∴∴函数的值域为（2）∵即∵，∴抛物线开口向上∴，即，解得：综上：19．（12分）已知集合，．（1）命题p：，命题q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．（2）命题“r：，使得”是真命题，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据p是q的必要不充分条件可得可讨论是否为空集：时，可得出；时，，然后解出的范围即可；（2）根据题意得出为非空集合且，从而得出为非空集合时，然后可得出时，，从而可得出的取值范围．【解析】解：（1）①当为空集时，，成立，②当不是空集时，，，解得，第12页共12页学科网（北京）股份有限公司

8综上①②，的取值范围为或；（2），使得，为非空集合且，，，∵时，或，解得或，，，，的取值范围为：，．20．（12分）甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．设甲每次购买这种物品的数量为m，乙每次购买这种物品所花的钱数为n．（1）若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；（2）设两次购买这种物品的价格分别为元，元（，，且），甲两次购物的平均价格记为，乙两次购物的平均价格记为．通过比较，的大小，说明问甲、乙谁的购物策略比较经济合算．【分析】（1）设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，由两次所花钱数除以购物数量可得平均价格；（2）利用平均数计算公式，分别计算出平均数，即可表示出来．再利用作差法比较两种购物方式中，哪种划算．【解析】解：（1）设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，所以甲两次购买这种物品平均价格为：，乙两次购买这种物品平均价格为：；第12页共12页学科网（北京）股份有限公司

9（2）设甲两次购物时购物量均为，则两次购物总花费为，购物总量为，平均价格为．设乙两次购物时用去的钱数均为，则两次购物总花费，购物总量为，平均价格为，，．，，，因此可知，第二种购物方式比较划算．21．（12分）已知函数（）．（1）当时，解不等式；（2）若不等式的解集为D，若，求m的取值范围．【分析】（1）分，和三种情况解不等式；（2）由条件知对任意的，，不等式恒成立，即恒成立，然后解出的最大值可得的范围．【解析】解：（1），，即，①当即时，不等式的解集为，；②当即时，，，不等式的解集为；③当即时，，第12页共12页学科网（北京）股份有限公司

10，，，不等式的解集为；（2）不等式的解集为，若，，即对任意的，，不等式恒成立，即恒成立，恒成立，恒成立，设，则，，，，，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，当时，的最大值为，的取值范围是．22．（12分）已知函数（），集合．（1）若集合A中有且仅有3个整数，求实数a的取值范围；（2）集合，若存在实数，使得，求实数b的取值范围．【分析】（1）根据条件解不等式，，即；整理得，，当时，解集；当时，解集；再根据集合中有且仅有3个整数，所以解集的区间长度不小于2，小于4，解不等式即可得的取值范围；（2）分和两种情况分别写出集合，对应的解集，根据列出不等式组，求出第12页共12页学科网（北京）股份有限公司

11的取值范围即可．【解析】解：（1）由题意解不等式：，即；整理得，，当时，解集；当时，解集；集合中有且仅有3个整数，当时，解集的区间长度为：，则；解得；当时，解集的区间长度为：，则；解得；故的取值范围是：，，．（2）由题意得，，由（1）知，当时，，，集合，，，，，，；当时，，，集合，，，，，，；综上，．故的取值范围是：，．第12页共12页学科网（北京）股份有限公司