2022-2023学年数学人教A版2019必修一单元测试第一章 集合与常用逻辑用语（通关解析版）

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2022-2023学年数学人教A版2019必修一单元卷第一章集合与常用逻辑用语知识详解考点一：集合的定义及其关系基础知识复习（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().题型一：集合的概念例1：1．下列各组对象能构成集合的是（       ）A．充分接近的所有实数B．所有的正方形C．著名的数学家D．1，2，3，3，4，4，4，4【答案】B【详解】选项A，C不满足集合的确定性；集合B正方形是确定的，故能构成集合；选项D不满足集合的互异性．故选：B．举一反三1．下列选项能组成集合的是（       ）A．著名的运动健儿B．英文26个字母C．非常接近0的数D．勇敢的人【答案】B解：著名的运动健儿，元素不确定，不能组成集合；英文26个字母，满足集合元素的特征，所以能组成集合；非常接近0的数，元素不确定，不能组成集合；勇敢的人，元素不确定，不能组成集合.故选：B．学科网（北京）股份有限公司

12．下列所给的对象能组成集合的是（       ）A．“金砖国家”成员国B．接近1的数C．著名的科学家D．漂亮的鲜花【答案】A.【详解】对于A，“金砖国家”成员国即巴西，俄罗斯，印度，中国，南非，能组成集合，故A正确；对于B，C，D三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合.故选：A.题型二：元素与集合例2：1．下列关系中，正确的是（       ）A．B．C．D．【答案】C【详解】根据常见的数集，元素与集合的关系可知，，，不正确，故选：C2．已知集合，则______.【答案】【详解】若，符合题意；若，不符合题意；若，符合题意.故答案为：.举一反三1．若集合则实数的取值集合为（       ）A．B．C．D．【答案】B【详解】当时，不等式等价于，此时不等式无解；当时，要使原不等式无解，应满足，解得；综上，的取值范围是．故选：B．2．已知集合，，则集合的元素个数为（       ）A．6B．7C．8D．9【答案】B解：由，解得，所以．所以，共有7个元素，故选：B．题型三：集合中元素的特性学科网（北京）股份有限公司

2例3：2．若集合有且只有一个元素，则的取值集合为__________．【答案】##【详解】①若，则，解得，满足集合A中只有一个元素，所以符合题意；②若，则为二次方程，集合A有且只有一个元素等价于，解得.故答案为：.2．下列命题中正确的是（       ）①与表示同一个集合②由1，2，3组成的集合可表示为或③方程的所有解的集合可表示为④集合可以用列举法表示A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上都对【答案】C解：对于①，由于“0”是元素，而“”表示含0元素的集合，而不含任何元素，所以①不正确；对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确；对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.综上可得只有②正确.故选：C.举一反三1．已知且，则由的值构成的集合是_______.【答案】【详解】，；或，解得.故答案为：．2．设集合，其中，且，若，则中的元素之和为_____.【答案】0【详解】因为，所以若，则集合不成立．所以．若因为，所以，所以必有，所以．因为，，所以或．若，此时不成立，舍去．若，则，成立．所以元素之和为．学科网（北京）股份有限公司

3故答案为：0.题型四：集合的表示法例3：1．设全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（       ）A．B．C．D．【答案】A【详解】，图中阴影部分表示的集合为．故选：A．2．试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程的解集；(2)大于且小于的所有整数组成的集合．【解析】(1)方程的根可以用x表示，它满足的条件是，因此，用描述法表示为；又方程的根是，因此，用列举法表示为．(2)大于且小于的整数可以用x表示，它满足的条件是且，因此，用描述法表示为；大于且小于的整数有，因此，用列举法表示为举一反三1．设集合，则用列举法表示集合为______．【详解】∵，则可得，则又∵，则当成立，当成立，∴故答案为：．2．用描述法表示下列集合：(1)所有被3整除的整数组成的集合；(2)不等式的解集；(3)方程的所有实数解组成的集合；(4)抛物线上所有点组成的集合；(5)集合.学科网（北京）股份有限公司

4【解析】(1)解：所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：(2)解：不等式的解集，用描述法可表示为：.(3)解：方程的所有实数解组成的集合，用描述法可表示为：.(4)解：抛物线上所有点组成的集合，用描述法可表示为：.(5)解：集合，用描述法可表示为：且.考点二：集合间的基本关系1.子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集（或A中的任一元素都属于B(1)AA(2)(3)若且，则(4)若且，则或真子集AB（或BA），且B中至少有一元素不属于A（1）（A为非空子集）(2)若且，则集合相等A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BA2.已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.题型一：子集、真子集例1：1．已知集合，且中的至多有一个偶数，则这样的集合共有（       ）A．个B．个C．个D．个学科网（北京）股份有限公司

5【答案】D【详解】当集合中无偶数，则，或，当集合中只有一个偶数，则，或，或，或，共有个，故选：D.2．集合至多有1个真子集，则的取值范围是（       ）A．B．C．D．或【答案】D【详解】当时，，满足题意，当时，由题意得，得，综上，的取值范围是故选：D举一反三1．集合的非空真子集的个数为（       ）A．5B．6C．7D．8【答案】B【详解】由题意可知，集合A的非空真子集为，共6个.故选：B.2．（多选）下列说法正确的是（       ）A．任何集合都是它自身的真子集B．集合共有4个子集C．集合D．集合【答案】BC【详解】对A，空集不是它自身的真子集，故A错误；对B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，故B正确；对C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确；对D，因为，当时，，所以，但，故两个集合不相等，故D错误.故选：BC.题型二：包含关系例2：若集合满足，，，，则满足上述条件的集合的个数为（       ）学科网（北京）股份有限公司

6A．0B．1C．2D．4【答案】D解：因为，，所以中最多能含有0，2两个元素，所以，，，，共4个．故选：D．举一反三1.（2022·江苏盐城·高一期末）设集合{是正四棱柱}，{是长方体}，{是正方体}，则（       ）A．B．C．D．【答案】B【详解】当正四棱柱的高与底面边长相等时，该正四棱柱为正方体；当长方体底面为正方形时，该长方体为正四棱柱；.故选：B.2．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学高二期中）用适当的符号(⊆，⊇，∈，∉)填空：（1）________；（2）2________；（3）N*________N；（4）R________Q.【详解】（1）当时，，故；（2）当时，，故2；（3）因为为正整数集，为自然数集，所以（4）因为为实数集，为有理数集，所以.故答案为：；；；.题型三：相等关系例3：已知集合，若，则（       ）A．3B．4C．D．【答案】D解：因为且，所以，且，又，所以和为方程的两个实数根，所以；故选：D举一反三设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（       ）A．{5}B．{1}C．{0，5}D．{0，1}学科网（北京）股份有限公司

7【答案】C解：因为，所以，解得或，的取值集合为，故选：C题型四：空集例3：①，②，③，④，其中正确的个数为(       )A．1B．2C．3D．4【答案】B【详解】正确；正确；不正确，左边是数集，右边是点集；不正确，左边是点集，右边是点集，但点不相同.故正确的有①②，共2个.故选：B.举一反三下列各式中关系符号运用正确的是（       ）A．B．C．D．【答案】C.【详解】根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.考点三：集合的基本运算1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．3、交集与并集的性质：A∩A=A，A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪φ=A,A∪B=B∪A.4、全集与补集（1）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。SCsAA（2）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即AS），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）。记作：CSA，即CSA={x|xS且xA}（3）性质：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U(4)(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)(5)(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)学科网（北京）股份有限公司

8题型一：交集例1：（2022·全国·高考真题）已知集合，则（       ）A．B．C．D．【答案】B【详解】，故，故选：B.举一反三（2022·全国·高考真题（文））设集合，则（  ）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为，，所以．故选：A.题型二：并集例2：（2022·浙江·高考真题）设集合，则（       ）A．B．C．D．【答案】D【详解】，故选：D.举一反三（2021·北京·高考真题）已知集合，，则（   ）A．B．C．D．【答案】B【详解】由题意可得：.故选：B.题型三：补集、全集例3：（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合M满足，则（ ）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题知,对比选项知，正确,错误故选:举一反三（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（       ）A．B．C．D．学科网（北京）股份有限公司

9【答案】D【详解】由补集定义可知：或，即，故选：D．题型四：集合的交并补例4：（2021·天津·高考真题）设集合，则（   ）A．B．C．D．【答案】C【详解】，，.故选：C.举一反三（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合，则=（       ）A．B．C．D．【答案】D【详解】由题意，，所以,所以.故选：D.题型五：Venn图例5：（2019·全国·高考真题（理））《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．B．C．D．【答案】C【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．举一反三（2022·江西·九江实验中学模拟预测（理））学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为______．学科网（北京）股份有限公司

10【答案】【详解】解：设参加羽毛球赛为集合，参加乒乓球赛为集合，依题意可得如下韦恩图：所以该班一共有人；故答案为：题型六：集合的新定义例6：（2022·贵州·凯里一中高一期中）已知且，若集合，，则（       ）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：由题得.故选：B举一反三（多选）非空集合关于运算满足：对于任意的、，都有，则称集合关于运算为“回归集”．下列集合关于运算为“回归集”的是（       ）A．为，为自然数的减法B．为，为有理数的乘法C．为，为实数的加法D．已知全集，集合，为，为实数的乘法【答案】BC【详解】对于A选项，若，为自然数的减法，则，A不满足条件；对于B选项，若，对任意的、，则，B满足条件；对于C选项，若，对任意的、，则，C满足条件；对于D选项，已知全集，集合，，取，，则，D不满足条件.故选：BC.学科网（北京）股份有限公司

11考点四：充分条件、必要条件与充要条件⑴、一般地，如果已知，那么就说：是的充分条件，是的必要条件；若，则是的充分必要条件，简称充要条件．⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件与结论之间的关系：Ⅰ、从逻辑推理关系上看：①若，则是充分条件，是的必要条件；②若，但，则是充分而不必要条件;③若，但，则是必要而不充分条件;④若且，则是的充要条件；⑤若且，则是的既不充分也不必要条件.Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看：已知满足条件，满足条件：①_x0001_,则是充分条件；②若,则是必要条件；③若AB，则是充分而不必要条件;④若BA，则是必要而不充分条件;⑤若，则是的充要条件；⑥若且，则是的既不充分也不必要条件.题型一：充分不必要条件例1：请写出不等式的一个充分不必要条件___________．【答案】(答案不唯一)【详解】因为能推出，但是不能推出，所以是不等式的一个充分不必要条件，故答案为：（答案不唯一）举一反三已知集合，B={x|-1

12因为B={x|-1

13综上实数的取值范围.故答案为：.题型三：充要条件例3：“，”的充要条件是（       ）A．B．C．D．【答案】B【详解】“，”等价于，即，故“，”的充要条件是，故选：B举一反三“对于任意的实数，不等式恒成立”的一个充分必要条件是（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】对于任意的实数，不等式恒成立，，由，得，由，得，当时，；当时，，；当时，,综上，，.，“对于任意的实数，不等式恒成立”的一个充分必要条件是，.故选：.题型四：既不充分也不必要条件例4：设，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】解不等式，得，解不等式，得，学科网（北京）股份有限公司

14故由可推出，由推不出，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.举一反三若a，，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【详解】若，当时，，当时，；又当时，两边除以b，得，当且时，两边除以b，得.故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D考点五：全称量词与存在量词⑴全称量词与全称命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.⑵存在量词与特称命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定①全称命题：，它的否定：全称命题的否定是特称命题．②特称命题：，它的否定：特称命题的否定是全称命题.题型一：全称量词与全称命题例1：已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是___．【答案】【详解】若命题“”是假命题，则命题的否定“，方程”是真命题，所以．所以实数a的取值范围是．故答案为:举一反三学科网（北京）股份有限公司

15命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（       ）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为命题“，”是真命题，所以，恒成立，所以，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是，故选：B题型二：存在量词与特称命题例2：命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为命题“，使得”为假命题，则命题“，使得”为真命题，所以，解得，所以实数的取值范围为.故选：A.举一反三已知命题“，”是假命题，则m的取值范围是_________.【答案】.【详解】由题意可知命题“，”是真命题，即，.因为，所以，则.故答案为：.题型三：含有一个量词命题的否定例3：设命题：，，则为（       ）A．，B．，C．，D．，【答案】A【详解】根据全称命题的否定为特称命题，所以为“，”.故选：A.学科网（北京）股份有限公司

16举一反三已知命题p：，使得，则为（       ）A．，B．，C．，D．，【答案】A解：根据命题的否定可知，为，．故选：A．学科网（北京）股份有限公司