4（2）设加速时间为t加，经t时间警车可以追上违章车。则t加=vmaxa=3025s=12s警车追上违章车时，有v0t=t+t加+tvmax2代入数据可得：t=18s（3）当警车速度和违章车速度相等时距离最大，此时两车运动时间为t0=v0a=202.5s=8s 警车离违章车的最远距离等于图中阴影部分的面积Δsmax=12v0t0=12×8×20m=80m7.甲、乙两个小朋友玩跑步游戏。甲从静止开始起跑，经过s1=5m距离能加速到最大速度v1=2.5m/s，并能维持一段较长时间。乙从静止开始起跑，经过s2=6m的距离能加速到最大速度v2=3m/s，以后只能维持这个速度4.0s。设乙距离甲x时开始追击，而甲在乙开始跑后1.0s后才开始起跑，假定甲、乙在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，求：（1）甲、乙的加速度大小以及加速时间；（2）乙要在自己匀速阶段追上甲，x值应在什么范围？【答案】（1）0.625m/s24s0.75m/s24s（2）3.1875m≤x≤5.5m【解析】（1）根据2a1s1=，得到甲的加速度大小为a1=0.625m/s2；根据2a2s2=，得到乙的加速度大小为a2=0.75m/s2；根据v1=a1t1，得甲的加速时间为t1=4s；根据v2=a2t2，得乙的加速时间为t2=4s。（2）若要求乙要在自己匀速阶段追上甲，则乙的运动时间为4~8s，①若乙运动的时间为4s，则乙在前4s内刚好加速到最大速度，所以位移为s2=6m，而此时甲匀加速运动了3s，则==2.8125m。x=s2-=3.1875m。②若乙运动时间为8s，则乙在4s到8s内一直匀速运动，所以位移为=v2t′=12m，乙运动的总位移s乙=s2+=18m；而甲先匀加速运动了4s，运动位移s1=5m，又匀速运动了3s，位移=v1t=7.5m，甲运动总位移s甲=s1+=12.5m；x=s乙-s甲=5.5m。所以，3.1875m≤x≤5.5m。考点四后面的物体做减速运动1.后面的物体做减速运动时，有追不上、恰好追上、相撞或相遇多次等多种可能。 2.要使两物体恰不相撞，则两物体到达同一位置时速度恰好相等。
58.汽车正以10m/s的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭发动机做加速度大小为6m/s2的匀减速运动，汽车恰好没碰上自行车，求关闭发动机时汽车离自行车多远？【答案】3m【解析】如图所示，当汽车的速度减到4m/s时x汽==m=7m，t==s=1s，这段时间内自行车行驶的位移x自=v自t=4m，二者距离Δx=x汽-x自=3m。9.在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。【答案】v0＜【解析】如图所示，解析：要使两车不相撞，A车追上B车时其速度只能与B车相等。设A、B两车从相距s到A车追上B车时，A车的位移为sA、末速度为vA、所用时间为t，B车的位移为sB、末速度为vB，两者的运动过程如图所示。解一：情景分析法利用位移公式、速度公式求解对A车有sA＝v0t＋×(－2a)×t2vA＝v0＋(－2a)×t对B车有sB＝at2，vB＝at对两车有s＝sA－sB追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB联立以上各式解得v0＝故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0＜。
6解二：函数判断法利用判别式求解，由法一可知sA＝s＋sB，即v0t＋×(－2a)×t2＝s＋at2整理得3at2－2v0t＋2s＝0这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v0)2－4×3a×2s＜0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0＜。解三：图像分析法利用速度—时间图像求解，先作A、B两车的速度—时间图像，其图像如图所示，设经过t′时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v′＝v0－2at′对B车有vB＝v′＝at′以上两式联立解得t′＝经t′时间两车发生的位移大小之差，即原来两车间的距离s它可用图中的阴影面积表示，由图像可知s＝v0·t′＝v0·＝所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0＜。10.火车A以=20m/s的速度匀速直线行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以=10m/s的速度匀速行驶，车A立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，加速度a应满足什么条件？【答案】a≥0.5m/s2【解析】由A、B速度关系：，由A、B位移关系：，解得：a=0.5，则当a≥0.5m/s2时不相撞。11.乙两辆车在同一直轨道上向右匀速行驶,甲车的速度为v1=16m/s,乙车的速度为v2=12m/s,乙车在甲车的前面。当两车相距L=6m时,两车同时开始刹车,从此时开始计时,甲车以大小为a1=2m/s2的加速度刹车,6s后立即改做匀速运动,乙车刹车的加速度大小为a2=1m/s2。求:(1)从两车开始刹车时开始计时,甲车第一次追上乙车的时间;(2)两车相遇的次数;
7(3)两车速度相等的时间。【答案】(1)2s(2)3次(3)8s【解析】(1)在甲减速时,设经时间t相遇,甲和乙的加速度大小分别为a1、a2,位移分别为x1、x2,则有x1=v1t-a1t2,x2=v2t-a2t2,x1=x2+L联立解得t1=2s,t2=6s即在甲车减速时,相遇两次,第一次相遇的时间为t1=2s(2)当t2=6s时,甲车的速度为v1'=v1-a1t2=4m/s,乙车的速度为v2'=v2-a2t2=6m/s,甲车的速度小于乙车的速度,但乙车做减速运动,设再经Δt甲追上乙,有:v1'Δt=v2'Δt-a2(Δt)2解得Δt=4s此时乙仍在做减速运动,此解成立。综合以上分析可知,甲、乙两车共相遇3次(3)第一次速度相等的时间为t3,v1-a1t3=v2-a2t3,解得t3=4s甲车匀速运动的速度为4m/s,第二次速度相等的时间为t4,有v1'=v2-a2t4,解得t4=8s考点五追击相遇与图像问题结合两者初始距离已知时可由v－t图线与横轴包围的面积判断相距最远、最近及相遇等情况.用x-t图像求解时,如果两物体的位移图像相交,则说明两物体相遇.12．（2022·四川·石室中学高三模拟）(多选)在同一条平直公路上行驶的a车和b车，其速度一时间图像分别为图中直线a和曲线b，已知t=0时刻a车与b车在同一位置，t2时刻a车在b车前方，由图可知（ ）A．a车与b车不可能相遇B．在t2时刻b车的运动方向发生改变C．t1到t2时间内两车之间的距离越来越小D．在0~t3时间内，t1时刻两车相距最远【答案】AC【解析】A.t=0时刻a车与b车在同一位置，t2时刻a车在b车前方，而t2时刻两车的速度相等，之后a车的速度比b车的大，所以两车不可能相遇，故A正确；B.由图可知，b车的速度一直沿正方向，说明b车的运动方向没有发生变化，故B错误；
8CD.t=0时刻a车与b车在同一位置，在0~t1时间内，a车的速度大于b车的速度，两者间距增大，在t1到t2时间内，a车的速度小于b车的速度，两车之间的距离不断减小，t2时刻之后a车的速度比b车的大，两车间距不断增大，所以不能确定何时两车间距最远，故C正确，D错误。13．（2022·福建·三明一中模拟）(多选)甲、乙两车在平直的公路上同时从同一地点同向行驶，两车的速度v随时间t的变化关系如图所示，其中两阴影部分的面积相等（S1=S2），则（ ）A．甲、乙两车均做直线运动B．在0~t2时间内，甲、乙两车相遇两次C．在0~t2时间内，甲的加速度先减小后增大D．在0~t2时间内（不包括t2时刻），甲车一直在乙车前面【答案】AD【解析】A．甲、乙两车均做直线运动，A正确；B．从图像可知，在0～t2时间内，甲、乙两车图线与t轴所包围的“面积”相等，即辆车的位移相等，所以t2时刻，甲、乙两车相遇且只相遇一次。B错误；C．在0~t2时间内，甲车v-t图线斜率不断增大，所以其加速度不断增大，C错误；D．在0~t2时间内（不包括t2时刻），甲车图线与t轴所包围的“面积”大于乙车图线与t轴所包围的“面积”，即甲车的位移大于乙车的位移，且甲、乙两车在平直的公路上同时从同一地点出发，所以甲车一直在乙车前面，D正确。14．(多选)甲、乙两车（视为质点）在一平直公路上沿同一方向做直线运动，t=20s时相遇，它们运动的速度—时间（v−t）图像如图所示。下列说法正确的是（ ）A．乙车启动10s后正好追上甲车B．t=10s时，两车相距最远C．0~20s时间内，甲、乙两车的最大距离为75mD．甲车启动时，乙车在其前方50m处
9【答案】AD【解析】A．由图知在t=10s时乙车启动，由题意知t=20s时甲乙两车相遇，所以乙车启动10s后正好追上甲车，故A正确；B．根据v−t图像与时间轴包围的面积表示位移，可知10s∼20s内，甲、乙两车通过的位移相等，因20s时相遇，则乙车启动时，即t＝10s时，两车在同一位置，甲车启动10s后正好追上乙车，两车相距最近，故B错误；C．0~10s内，在t＝0时刻两车相距最远，最大距离为s1=10×102m=50m10s∼20s内，当两车的速度相等时相距最远，最大距离为s2=10×52m=25m所以，0~20s时间内，甲、乙两车的最大距离为50m，故C错误；D．由以上分析可知，即t＝10s时，两车在同一位置，所以甲车启动时，乙车在其前方的距离为s1=50m，故D正确。15．(2022·安徽高三模拟)甲、乙两个质点沿同一直线运动，其中质点甲以3m/s的速度做匀速直线运动，质点乙做初速度为零的匀变速直线运动，它们的位置x随时间t的变化如图所示。已知t=3s时，甲、乙图线的斜率相等。下列判断正确的是（ ）A．最初的一段时间内，甲、乙的运动方向相反B．t=3s时，乙的位置坐标为−15.5mC．t=10s时，两车相遇D．乙经过原点的速度大小为45m/s【答案】B【解析】A．位移时间图像的斜率表示速度，则最初的一段时间内，甲、乙的斜率都为正方向，所以运动方向相同，故A错误；B．质点乙作初速度为零的匀变速直线运动，t=3s时，甲、乙图线的斜率相等，所以，t=3s时乙的速度是3m/s，乙的加速度a=33m/s2=1m/s20-3s，乙的位移x=0+32×3m=4.5m所以t=3s时，乙的位置坐标为−20m+4.5m=−15.5m故B正确。C．t=10s时甲车的位移x甲=30m，乙车的位移x乙=12at2=50m因x乙1016．在平直公路上行驶的a车和b车，其位移-时间图像分别为图中直线a和曲线b，已知b车的加速度恒定且a=−2m/s2，t=3s时直线a和曲线b刚好相切。下列说法正确的是（ ）A．a车的速度大小为83m/sB．t=0时，a车和b车的距离为7mC．t=2s时，a车在b车前方1m处D．0-2s内，b车比a车多行驶6m【答案】C【解析】A．图像的斜率代表速度，所以a车的速度大小为v=ΔxΔt=2m/s故A错误；B．t=3s时直线a和曲线b刚好相切，速度相等，所以b的初速度为v=v0+at解得v0=8m/s所以0-3s，b的位移为xb=v0+v2t=15m所以初始时，b的位置坐标xb0=8−xb=−7mt=0时，a车和b车的距离为Δx=2−xb0=9m故B错误；CD．t=2s时，b的速度v2=v0+at2=4m/s0-2s的位移x2=v0+v22t=12ma的位移xa=vt2=4m所以b车比a车多行驶8m，t=2s时，a车在b车前方Δx−8=1m故C正确D错误。17．(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲车由静止出发做匀加速运动，乙车做匀速运动，其各自的位置x随时间t的变化情况如图所示，并且两条图线相切点对应位置为x0，对应时刻为2t0，则（ ）A．在t0时刻，甲车的速度大小为x0t0B．在2t0时刻，乙车的速度大小为x02t0C．在0～2t0时间内，乙车平均速度是甲车平均速度的两倍D．甲、乙两车出发后，只能相遇一次【答案】CD【解析】
11A．题中的x−t图线中，对于甲车，x0t0表示的是2t0时刻的瞬时速度，A项错误；B．对于乙车，匀速运动的速度大小等于x0t0，选项B错误；C．在0～2t0时间内，两车的位移相等，甲车的运动时间是乙车的2倍，则乙车平均速度是甲车平均速度的两倍，C项正确；D．在2t0时刻甲、乙两车相遇，之后图线不再有交点，故之后两车不再相遇，D项正确。考点六其他相遇问题18．小球A从离地面20m高处做自由落体运动,小球B从A正下方的地面上以20m/s的初速度做竖直上抛运动．两球同时开始运动,在空中相遇,g取10m/s2,则下列说法正确的是( )A．两球相遇时速度都是10m/s，方向竖直向下B．两球相遇位置离地面高度为15mC．开始运动1.5s时相遇D．两球在空中相遇两次【答案】B【解析】C、小球A做自由落体运动，小球B做竖直上抛运动，设经过时间t在空中相遇，A自由落体位移：ℎ1=12gt2，B竖直上抛的位移：ℎ2=v0t−12gt2，ℎ1+ℎ2=20，联立可得：t=1s，经过1s两球相遇，故C错误；A、相遇时，A球的速率vA=gt=10m/s，方向竖直向下，B球的速率vB=v0−gt=20m/s−10m/s=10m/s，方向竖直向上，故A错误；B、相遇时离地面高度ℎ2=20×1−12×10×12m=15m，故B正确；D、由题意知，B球速度减为零的时间为t′=v0g=2s，两球第一次相遇后，A球继续下落，B球继续向上运动，当B球上升到最高点时，A球下落距离H=12gt′2=20m，故两球不可能在空中相遇两次，故D错误；故B正确．【点睛】小球A做自由落体运动，小球B做竖直上抛运动，根据位移时间公式分别求出A和B的位移大小；两球在空中相碰，则两球的位移之和等于20m，列式求解进行判断．19．物理实验小组看了书本上借助传感器用计算机测速度的内容后，改进后用来测加速度，图甲为工作示意图，P为信号发射器，可同时发射红外线和超声波，且可接受从小车返回的信号。一带接收器的小车静止在信号发射器右侧某位置。某时刻P同时发射红外线脉冲与超声波脉冲，小车接收到红外线后从静止开始匀加速运动，当小车接收到超声波后立即改为匀速运动。当P接收到返回的超声波后，立即再次发出超声波脉冲，图乙为两次发出的超声波脉冲的位移时间图像，已知t1=0.1s，t2=5.919s，超声波的速度为340m/s，红外线传播时间可以忽略，可以认为发出超声波的时刻小车启动。求：(1)小车匀加速运动的加速度大小；
12(2)小车静止时与信号发射器的距离。【答案】(1)170m/s2；(2)33.15m【解析】(1)设小车匀速运动时的速度为v0，超声波速度为v=340m/s，则由题意可得，小车匀速运动的位移为x0=x2−x1x2=v·(t2−2t1)x1=vt1x0=v0(t2−t1)联立解得v0=t2−3t1t2−t1v=17m/s则小车的加速度为a=v0t1=170m/s2(2)由题意可得小车静止时与信号发射器的距离为s=vt1−12at12代入数据解得s=33.15m20．如图所示固定的B盒是超声波发射和接收器，t1=0时刻发出一列短暂的超声波，t2=0.3s时接收到被匀速行驶的小车反射回来的此列超声波，t3=1s时再发出一列短暂的超声波，t4=1.4s时接收到被小车反射回来的此列超声波，已知超声波在空气中的速度为340m/s，则t5=2s时再发出一列短暂的超声波，需经多长时间才能收到被小车反射回来的此列超声波？【答案】0.5s【解析】超声波第一次撞到小车时，小车距测速仪x1=v声t2−t12=340×0.3−02m=51m超声波第二次撞到小车时，小车距测速仪x2=v声t4−t32=340×1.4−1.02m=68m超声波第一次撞到小车处到第二次撞到小车处，小车的位移Δx1=x2−x1=17m超声波从第一次撞到小车到第二次撞到小车经历的时间Δt1=t3+t42−t1+t22=1.05s小车的速度v=Δx1Δt1=171.05m/s=34021m/s超声波第三次撞到小车时，小车距测速仪x3=v声t6−t52=340×t6−2.02m
13超声波第二次撞到小车处到第三次撞到小车处，小车的位移Δx2=x3−x2超声波从第二次撞到小车到第三次撞到小车经历的时间Δt2=t5+t62−t3+t42小车的速度：v=Δx2Δt2解得t6=2.5s收到小车反射回来的此列超声波需要的时间Δt=t6−t5=0.5s
