大学统计学课件4时间序列分析

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第4章时间数列分析时间数列

1把反映某种现象的统计数值按时间先后顺序排列起来所形成的数列。任何一个时间数列，都具备两个基本要素：一是现象所属的时间，称为时间要素；一是反映现象在不同时间上数量表现的统计数据，称为数据要素.§4.1时间序列概述§4.1.1时间序列的概念和种类时间t1t2t3…tn指标数值y1y2y3…yn

2年份国内生产总值(亿元)年末总人口(万人)人口自然增长率(‰)城镇居民家庭人均可支配收入（元）1978198019901995199619971998199920002001200220032004200520062007200820092010201120123645.24545.618547.960793.771176.678973.084402.389677.199214.6109655.2120332.7135822.8159878.3183084.8211923.5257305.6314045.4340902.8401512.8473104.0519322.0962599870511433312112112238912362612476112578612674312762712845312922712998813075613144813212913280213345013409113473513540412.0011.8714.3910.5510.4210.069.148.187.586.956.456.015.875.895.285.175.084.874.794.794.95343.4477.61510.24283.04838.95160.35425.15854.06280.06859.67702.88472.29421.610493.011759.013785.815780.817174.719109.421809.824565.0

3§4.1.2时间序列的编制原则可比性统计数值所属时间可比统计数值反映的总体范围可比统计数值的计算口径可比统计数值的经济内容可比

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5§4.2时间序列的水平分析§4.2.1发展水平现象在不同时间上所达到的规模或水平的数量反映，也就是时间序列中的每一项指标数值。按发展水平在时间序列分析中所处的位置，发展水平分为期初水平y0或y1、期末水平yn。按发展水平在时间序列分析中作用,发展水平分报告期水平、基期水平。

6§4.2.2平均发展水平概念不同时间上发展水平的平均数。统计上习惯称为序时平均数（或动态平均数）。作用消除不同时间上的数量差异，综合说明现象在一段时间的一般水平。

72.时期列序时平均发展水平——简单算术平均计算结果表示：某段时间内平均每期的水平。

82.时点序列的平均发展水平计算结果表示：现象在某段时间内平均（每个时点上）所达到的水平。（1）连续时点数列（已知每天数据）——简单算术平均法

9（2）不连续时点序列的平均发展水平间隔相等的不连续时点数列月份3月末4月末5月末6月末库存量（百件）66726468某商业企业第二季度某种商品的库存量如下表，求该商品第二季度月平均库存量696866第二季度月平均库存=（69+68+66）/3=67.67（百件）

10可以看出，公式的分子是首末两项指标数值的一半与中间指标数值之和，分母是时间序列的项数n-1，故称为“首末折半法”。

11某地区年商业从业人数资料表，计算该地区某年月平均商业从业人员数。1月1日5月1日10月31日12月31日从业人数231216268247单位：万人223.5万人242万人257.5万人间隔不等的不连续时点数列计算序时平均数

12根据资料可知其时间间隔分别为4个月、6个月和2个月。（万人）

13当时间间隔不相等时，要用间隔的时间长度为权数求两时点之间代表值的加权算术平均数。其公式为：式中fi代表两相邻时点间的时间间隔数。

14相对数或平均数时间数列是派生数列，它是由两个有联系的绝对数时间数列对比而成。相对数和平均数均不能相加，所以相对数和平均数时间数列计算序时平均数不能用简单平均法。（2）相对数数列或平均数数列的序时平均数求各期z的平均一般不能采用简单算术平均法，即因为各期数据zi的对比基础xi不同，它们对全期总平均水平的影响作用应轻重有别.

15分别计算其分子、分母的序时平均数（先判断分子分母是什么指标、是时期指标还是时点指标？）对比得：上式实质上等于对各期z加权算术平均，权数是分母指标b。

16时间1月2月3月4月产值（万元）1000118012001250月初劳动者（人）200230218220计算一季度平均劳动生产率

17§4.2.3增减量增减量是报告期水平与基期水平之差，用以说明现象在一定时期内增减的绝对数量。由于计算时所采用的基期不同，增减量可分为逐期增减量和累计增减量。

18逐期增减量是报告期水平与报告期前期水平之差，说明现象逐期增减的数量，即累计增减量是报告期水平与某一固定基期水平之差，说明一段时期内总的增减绝对数量：逐期增减量＝报告期水平－上期水平累计增减量＝报告期水平－固定基期水平

19逐期增减量与累计增减量之间存在一定的数量关系：各逐期增减量的和等于相应的累计增减量；相临两期的累计增减量之差等于相应逐期增减量。二者的关系

20200520062007200820092010贸易总额（亿元）8001080912110013001450逐期增长量（亿元）——280-168188200150累计增长量（亿元）——280112300500650

21§4.2.4平均增减量——逐期增减量的序时平均数；——其方法是算术平均法。平均每年增加贸易总额=平均每年增加贸易总额=

22§4.3.1发展速度报告期水平与基期水平之比，用以说明现象报告期较基期水平的相对发展程度。当选择的基期不同时，发展速度可以分为：环比发展速度和定基发展速度§4.3时间序列的速度分析

23环比发展速度报告期水平与报告期前一期水平之比，反映现象逐期发展变化的相对程度：定基发展速度（总速度）报告期水平与某一固定基期水平（通常为最初水平）之比，表明现象在一段时期内的发展相对程度，又称为总速度:环比发展速度＝报告期水平／上期水平定期发展速度＝报告期水平／固定基期水平

24200520062007200820092010贸易总额（亿元）8001080912110013001450逐期增长量（亿元）——280-168188200150累计增长量（亿元）——280112300500650环比发展速度（%）——135.084.4120.6118.2111.5定基发展速度（%）100135.0114.0137.5162.5181.3

25（1）某段时期内各环比发展速度的连乘积等于该时期内的定基发展速度两种速度的关系：（2）相邻的两个定基发展速度之商，等于相应的环比发展速度

26增减速度由增减量与基期水平对比而得，用以说明报告期水平较基期水平增减变化的相对程度§4.3.1增减速度基期不同，分环比增减(长)速度与定期增长速度（增减率）

27200520062007200820092010贸易总额（亿元）8001080912110013001450逐期增长量（亿元）——280-168188200150累计增长量（亿元）——280112300500650环比发展速度（%）——135.084.4120.6118.2111.5定基发展速度（%）100135.0114.0137.5162.5181.3环比增长速度（%）——35.0-15.620.618.211.5定基增长速度（%）——35.014.037.562.581.3增长1%的绝对值（亿元）——8.0-10.89.121113

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29二者关系：总增减速度不等于相应各环比增减速度之和（积）。相互关系如下所示：环比增减速度环比发展速度定基增减速度定基发展速度乘or除

30年距增长量（也称同比增减量）；对于有季节因素影响的现象，为了消除季节因素的影响，常常以上年同期（季度、月等）为基期，计算：年距发展速度（也称同比发展速度）；年距增长速度（也称同比增长速度）。

31§4.3.3平均发展速度和平均增减速度平均发展速度——各期环比发展速度的序时平均数，表明现象在一段时期内逐期发展变化的平均程度。平均增减速度——表示逐期增减变动的平均程度，即各期环比增减速度的一般水平.不能对各环比增减速度直接相加来平均。因为：算术平均法或几何平均法都不符合增减速度这种现象的性质。

32现象总量=各变量值之总和——算术平均法现象总量=各变量值之连乘积——几何平均法计算方法：平均增减速度=平均发展速度—1

33设xi为n个逐年的环比发展速度，根据定义：环比发展速度的连乘积为总速度，所以上式也可以写为：定基发展速度等于期末水平除以期初水平1.计算平均发展速度的几何平均法（水平法）

34案例：与时俱进的发展战略1.2000年GDP比1980年GDP翻两番（12大）2.在人口净增加3亿人的基础上，2000年人均GDP比1980年人均GDP翻两番（十四届五中全会）3.2020年GDP比2000年GDP翻两番（16大）4.2020年人均GDP比2000年人均GDP翻两番（17大）5.人口规划

35用所求平均发展速度推算的最末一期的水平与实际相等，推算的总速度（末期定基速度）与实际相等。几何平均法的特点着眼于最末一期的水平，故称为“水平法”。如果关心现象在最后一期应达到的水平时，采用水平法计算平均发展速度比较合适。从最初水平y0出发，每期按平均发展速度发展，经过n期后正好达到最末期水平yn；

36水平法的不足水平法只考虑计算期内首尾两项的水平——

372.计算平均发展速度的方程式法（累计法）方程式法（累计法）的基本思想从最初发展水平y0出发，每一期按平均发展速度发展，经过n年后，达到全期总量。

38各期实际水平的总和为：用平均发展速度去代表各期环比发展速度，有：用各期的环比发展速度xi去推算各期水平再求和：解上述方程，其正根就是平均发展速度。

39方程式法的特点出发点是全期水平之和，计算结果取决于整个计算期各期水平的累计总和，故称为“累计法”。用所求的平均发展速度推算的各期水平之总和与实际各期水平之和相等。适用于：关心整个考察期内的总量时。

403.将速度与水平二者结合——常常用到增长1%的绝对值来补充说明增长速度（环比、定期）增长1%的绝对值=表示：速度每增长一个百分点所对应的增加绝对量。2.总平均速度与各环比速度、分段平均速度结合1.正确选择基期§4.3.4时间序列指标分析应注意的问题

41§4.4时间序列构成因素分析

42长期趋势(SecularTrend)季节变动(SeasonalFluctuation)循环变动(CyclicalVariation)不规则变动(IrregularVariations)§4.4.1时间序列的构成因素和组合形式

43趋势模式：Y=T.I趋势季节模式：Y=T.S.I趋势循环模式：Y=T.C.I趋势季节循环模式：Y=T.S.C.I时间序列的不同组合模式：

44认识和掌握现象随时间演变的趋势和规律，为制定相关政策和进行管理提供依据；通过对现象过去变动规律的认识，对事物的未来发展趋势做出预计和推测；测定出趋势因素后，便于从原时间序列中剔除趋势因素，更好地分解、研究其他因素。§4.4.2时间序列长期趋势测定

451.移动平均法选择一定的平均项数（常用k表示），采用逐项递移的方法对原时间序列计算一系列移动平均值，这些移动平均值消除或削弱了原序列中的不规则变动和其他变动，揭示出现象在较长时间内的基本发展趋势。

46三项移动—12.3010.579.7714.7714.6012.6311.9016.9316.8314.7014.1019.1719.0716.87—四项移动—11.2511.8812.4312.9813.4314.0314.6015.1015.6216.2516.7817.3017.83—移正平均——11.5612.1512.7012.2013.7314.3114.8515.3615.9416.5117.0417.56——｝｝｝

47移动平均法的特点⑴移动平均对时序具有平滑修匀作用，平均项数k越大，对时序的平滑修匀作用越强。⑵若时序中包含周期变动，平均项数k必须与周期长度（或周期长度的倍数）一致，才能消除时序中的周期波动，揭示时序中的长期趋势。

48⑶平均项数k为奇数，只需一次移动平均，其平均值所代表的时期即可与时序中的某一时期相对应；而平均项数k为偶数时，尚需再进行一次中心化或移正平均，其平均值所代表的时期才能与时序中的某一时期相对应。⑷移动平均后，平均值时序较原时序项数要少，造成部分信息缺损，k越大，缺项越多。k为奇数时，新时序首尾各少（k-1）/2项；k为偶数时，新时序首尾各少k/2项。⑸移动平均值一般适合水平趋势时序预测，对于增长趋势时序，直接以本期移动平均值为下期预测值会产生滞后偏差。

49◆取决于移动平均的项数是否能与时序中的循环周期长度一致。◆如果数列中各循环周期长度能始终保持一致，则相同平均项数的移动平均也能消除循环波动。◆但循环波动的周期长度远不如季节周期长度那么有规律，在同一数列中，各循环周期的长度是各不相同的。因而，固定平均项数的移动平均也就很难将数列中的循环波动完全消除。移动平均是否能消除循环变动？

50◆有时为了预测方便，也将移动平均值放在所平均时间的最末一期。如三期移动平均的平均值置于这三期的第三期；k期移动平均的平均值置于这k期的第k期。股票证券技术分析中的各种均线（即移动平均曲线）就是采用这种方法。但当趋势为上升或下降时，须注意移动平均值的时滞性。K越大，平均值对实际变化的跟踪反映越迟钝，滞后越严重。

512.指数平滑法原理充分利用数据信息近期数据对未来预测影响作用更大根据指数平滑值与实际值的滞后偏差规律对模型中的参数进行估计

52如果t期趋势估计值与t期实际值完全一致，二者之间没有误差，则可以t期趋势估计值直接作为t+1期的趋势估计值；如果二者之间有误差，则这种误差应理解为是由两部分所组成：一部分是现象从t-1期到t期的实质性变化，一部分是随机误差。既要剔除随机误差即不规则变动，也要反映出现象的实质性变化。基本思想

53(t=1，2，…，n)Et:t时期的指数平滑值Et-1:t-1时期的指数平滑值yt:t时期的实际观测值α:平滑系数，其值介于0与1之间显然,指数平滑具有递推性质，各期指数平滑值均在上期平滑值的基础上递推而得。t期的指数平滑值是在t-1期指数平滑值的基础上加上t期实际观测值与t-1期指数平滑值（作为t期趋势估计值）的误差的一部分组合而成。体现了指数平滑法求趋势估计值的基本思想

54误差中属于现象实质性变化的部分由平滑系数α所决定。α的取值越大，即认为误差中现象实质性变化的比例越大，下期的趋势估计中，本期的误差就保留得越多；而α的取值越小，则认为误差中随机因素引起的随机误差所占比例越大，下期的趋势估计中本期误差就剔除得越多。

55……E0称为初始值，序列项数较多时，初始值对平滑值的影响不大，故可设定为EO=y1。

560≤α≤1，t增大，t→∞无穷递减等比级数，其公比是（1-α）指数平滑值Et实际上是各期观测值yt的加权平均数，其权数和为1。

57t期的平滑值包含了t期及t期以前所有数据的信息，但又对不同时期的数据给予不同的权数，越是近期的数据给予权数越大,体现了对各期数据的不同重视程度。由于是平均值，对序列具有平滑修匀作用，能消除不规则变动的影响.

58年份时期序号t人均可支配收入yt指数平滑值Et(α=0.1)指数平滑值Et(α=0.3)指数平滑值Et(α=0.7)19781343.4343.4343.4343.419802477.6356.8383.7437.319853738.1395.0490.3648.6198941373.9492.9755.41156.3199051510.2594.7981.81404.0199161700.6705.31197.51611.6199272026.6837.41446.21902.1199382577.41011.41785.62374.8199493496.21258.92298.83158.81995104283.01562.22894.03946.01996114838.91888.93477.54571.01997125160.32216.93982.34983.51998135425.12537.74415.25292.61999145854.02868.34846.85685.62000156280.03210.45276.86101.72001166858.63575.35751.66632.22002177702.83988.16337.07381.62003188472.24436.56977.58145.02004199421.64935.07710.89038.620052010493.05490.88545.410056.720062111760.06117.79509.811249.020072213786.06884.510792.613024.920082315781.07774.112289.114954.2α对平滑值的影响

592.平滑系数α的选择α值越小，对序列的平滑作用越强、跟踪数据越慢；大α值越，对序列的平滑作用越弱、跟踪数据越快。序列中随机波动较大时，为了消除随机波动的影响，可选择较小的α，使序列较少受随机波动的影响。为了反映出序列的变动状况，可选择较大的α，使数据的变化很快反映出来。如果主要依靠近期信息，α宜选择得大一些；如果希望充分重视历史信息，α宜选择得小一些。对初始值的正确性把握不大，希望减小初始值的影响，则α值宜大些；对初始值的正确性把握性较大，希望突出初始值的影响，则α值宜小些。总之，选择使实际值和估计值均方误差最小的α。

60利用数学中的某一种曲线形式对原时序中的趋势进行拟合，以消除其他变动，揭示时序长期趋势的一种方法。趋势方程拟合法在Y=T.I时序的长期趋势测定中应用较为广泛。3.趋势方程拟合法

61趋势方程的选择⑴定性分析。如人口增长、耐用消费品的销售量等通常选择S曲线进行拟合。

62⑵绘制观测值散点图图形常能很直观的表现出时序的趋势类型，是最常用也是比较有效的一种方法。⑶根据时序的数据特征加以判断常用的判断方法有：若时序各项数据的K次差（K级增长量）大致为一常数，可拟合K次曲线；若时序的环比速度大致为一常数，可拟合指数曲线。

63⑷对混合趋势形式的时序，也可采取分段拟合的方法，分别考察各阶段的趋势变化。但若要对未来的趋势发展做出预测，通常只能根据最后一阶段的趋势方程进行外推预测。⑸对某个时序，若有多种曲线形式可供选择，则应依据趋势估计值与原时序实际观测值的均方误差对各种拟合的曲线进行比较，选择其中均方误差最小者为宜。M为曲线参数个数

64式中a是直线的截距，也即时间起点（0）时的数据均值；b为直线斜率，也即时间每增加一个单位现象平均增加的数量；为t时期的趋势估计值；t为时间序号（一般设为1、2、……、）直线趋势模式的参数估计与趋势测定直线趋势模式的表现形式是：其趋势拟合方程为：

65估计线性趋势方程中参数a、b的方法通常采用最小二乘法。趋势方程拟合法的主要任务就是要建立能够近似反映真实时间序列趋势的方程，我们总是希望趋势估计值尽可能地接近时间序列的实际观测值y，即所有的离差越小越好。可是，由于可正可负，简单的代数和会相互抵消，因此为了便于处理，通常采的平方和作为衡量所有总差异的尺度。所谓最小二乘法就是根据这一思路，通过使离差平方和为最小来估计趋势方程系数的一种方法。

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67由此解得:

68年份时期序号t人均可支配收入yt19781343.419802477.619853738.1198941373.9199051510.2199161700.6199272026.6199382577.4199493496.21995104283.01996114838.91997125160.31998135425.11999145854.02000156280.02001166858.62002177702.82003188472.22004199421.620052010493.020062111760.020072213786.020082315781.0SUMMARYOUTPUT回归统计MultipleR0.966551RSquare0.93422AdjustedRSquare0.931088标准误差1144.26观测值23方差分析dfSSMSFSignificanceF回归分析13.91E+083.91E+08298.2486.9E-14残差21274959301309330总计224.18E+08Coefficients标准误差tStatP-valueLower95%Upper95%Intercept-1786.41493.1888-3.622160.001597-2812.05-760.766XVariable621.18835.9694917.269866.9E-14546.3854695.9907

69适用于　　数列，a为水平趋势值。原资料平均，就是对原数列数据资料不通过剔除趋势等整理过程，直接对原数据按平均的方法分离出季节因素。1.同期平均法§4.4.3时间序列的季节变动测定

70原理：以某个均值（例如全部数据的平均数）作为数列的水平趋势估计值；通过各年同期（同月或同季）平均的方法消除不规则变动，以消除不规则变动后的数据除以水平趋势估计值求得季节因素（又称为季节比率）。步骤：（1）求各年同期（月或季）平均数（i=1、2、…、L）。这一步骤的目的是为了消除体现在各年同期数据上的不规则变动，相当于（a×S×I）/I=a×S

71（2）求全部数据的总平均数，并以作为水平趋势值的估计值。这一步骤的目的是为了找出数列中的水平趋势值。（3）以，得到季节因素估计值（季节比率）（i=1、2、…、L），使　（L=4或12）。这一步骤相当于

72季度第一年第二年第三年第四年平均季节比率（％）113511309138213211340.75110.78210871092106111401095.0090.47311551185118211991180.2597.52412061250119712481225.25101.23平均1198.7512091205.512271210.31100.00某小区居民用电量（千度）季节比率计算表

73季节因素其实质是相对于趋势值的一种变化程度，也即由于季节变动所引起的趋势值增加或减少的一种相对程度。这种相对程度揭示了季节变动的一般规律。当没有季节因素影响时，季节比率为1（或100%）；其值高于1（或100%）为旺季，低于1（或100%）为淡季；其值越远离1，季节因素影响越大，反之越小。

74某企业产品销售量一月份季节比率为150%，2009全年的销售目标是24000件。一月份实际销售了2800件。试问，一月份的销售情况是否满意？一月份销售量预测值=月平均值×一月份季节比率＝2000件×1.5＝3000件一月份预计应当销售了3000件，实际只销售了2800件，一月份的销售情况不令人满意。

752.趋势剔除法如果数列中包含有明显的上升（下降）趋势或循环周期变动，即Y=T×S×I数列，测定其中的季节因素应首先剔除数列中的趋势，再对剔除趋势（以后的数列计算季节比率。这种计算季节比率的方法称为“趋势剔除法”。

76对于Y=T.S.I数列，求趋势值即可以用方程拟合法也可以用移动平均法（平均项数K必须与季节周期长度L一致）。2.以原数列各项数值分别除以其对应的趋势值，以剔除数列中的趋势。相当于（T.S.I）/T=S.I步骤：1.求出原数列中的趋势值3.剔除数列中的不规则变动（各年同期平均）

77时间tyt2003.111455————2003.221195————2003.33153715550.98842003.44187916481.13972004.15176017481.00692004.26164718380.89602004.37187519250.97382004.48226920021.13342005.19206320780.99242005.210195421680.90112005.311218122820.95602005.412268923961.12222006.113254224981.01762006.214238725660.93022006.315256426420.97062006.416285327521.03662007.117298428681.04032007.218283030080.94082007.319304631760.95902007.420349233501.04252008.121368735371.04262008.222352037440.94012008.3233848————2008.4244349————年度1季度2季度3季度4季度合计2003————0.98841.1397——20041.00690.8960.97381.1334——20050.99240.90110.9561.1222——20061.01760.93020.97061.0366——20071.04030.94080.9591.0425——20081.04260.9401————平均1.020.92160.96961.09494.006季节比率1.01840.92030.96811.09324