复变函数与积分变换考点总结

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1、复变函数复习重点(一)复数的概念21.复数的概念：zxiy，xy,是实数,xRezy,Imz.i1.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示221）模：

2、

3、zxy；2）幅角：在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Argz（多值函数）；主值argz是位于(,]中的幅角。y3）arg()z与arctan之间的关系如下：xy当x0,argzarctan；xyyz0,argarctanx当x0,；yz0,argarctanyx4）三角表示：zzco

4、sisin，其中argz；注：中间一定是“+”号。i5）指数表示：zze，其中argz。(二)复数的运算1.加减法：若zxi,yzxiy，则zzxxiyy1112221212122.乘除法：1）若zxi,yzxiy，则111222zz12xx12yy12ixy21xy12；z1x1iy1x1iiy1x2y2xx12yy12yx12yx21i.2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y2zzeii12,zzei

5、12z1z1i122）若,则zzzze；e11221212zz223.乘幂与方根innnni1）若zz(cosisin)ze，则zz(cosnisinn)ze.i2）若zz(cosisin)ze，则122kknzzncosisin(k0,1,2n1)（有n个相异的值）nn（三）复变函数1.复变函数：wfz，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2.复初等函数zxzz1)指数函数：eecosyisiny，在z平面

6、处处可导，处处解析；且ee。z注：e是以2i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）2)对数函数：Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)（多值函数）；主值：lnzlnziargz。（单值函数）1lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且lnz；z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）bblnabblnz3）乘幂与幂函数：ae(a0);ze(z0)bb1注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且zbz。izizizizeeeesinzcosz4）三角函

7、数：sinz,cosz,tgz,ctgz2i2coszzsinsin,coszz在z平面内解析，且sinzcos,coszzsinz注：有界性sinzz1,cos1不再成立；（与实函数不同）zzzzeeee5）双曲函数shz,chz；22shz奇函数，chz是偶函数。shzchz,在z平面内解析，且shzchzchz,shz。（四）解析函数的概念1．复变函数的导数fz00zfz1）点可导：fz=lim；0z0z2）区域可导：fz在区域内点点可导。2．解析函数

8、的概念1）点解析：fz在z及其z的邻域内可导，称fz在z点解析；0002）区域解析：fz在区域内每一点解析，称fz在区域内解析；3）若fz()在z点不解析，称z为fz的奇点；003．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件：fzuxy,ivxy,在zxiy可导uvuvuxy,和vxy,在xy,可微，且在xy,处满足CR条件：,xyyxuv此时

9、，有fzi。xx2．函数解析的充要条件：fzuxy,,ivxy在区域内解析uvuvuxy,和vxy,在xy,在D内可微，且满足CR条件：,；此xyyxuv时fzi。xx注意：若uxyvxy,,,在区域D具有一阶连续偏导数，则uxyvxy,,,在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明uv,具有一阶连续偏导且满足CR条件时，函数fz()uiv一定是可导或解析的。3．函数可导与解析的判别方法1）利用定义2）利用充要条件3）利用可

10、导或解析函数的四则运算定理（函数fz是以z的形式给出）（六）复变函数积分的概念与性质n1．复变函数积分的概念：fzdzlimfkk