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1、&!!!年第%期测绘通报’(&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&文章编号：!"#"$!#%%（&!!!）!%$!!’($!%中图分类号：)&%文献标识码：*计算公路匝道点位坐标的复化辛普森公式李孟山，李少元（石家庄铁道学院，河北石家庄!(!!"’）!"#$%#&’()*$%+#’,#-$&./0#-"/.1&./2*’3"##-(*’/24+#05*’35#/(6#*’2#’7*389/:+,-./0$123/，+,4235$673/摘要：本文结合公路
2、匝道线形曲率变化的特点，利用复化辛普森公式导证了计算公路匝道坐标的通用公式。关键词：复化辛普森公式；公路匝道；坐标计算一、引言将式（&）代入式（’）得匝道是组成高等级公路立交的基本单元，其形式千变万"!-9!#（$%-:$%#）<%=!1（"）-8&#化，就线型而言，也是由直线段、回旋曲线段、圆曲线段组成。若已知回旋曲线起点#在线路坐标系下切线坐标方位但是，组成立交的匝道涉及多个基本曲线，设计半径也较小，角$，则里程为$%点切线坐标方位角为#-这就为坐标计算带来了困难，本文依据公路匝道线形的曲率$-8$#9"-（(）变化特点，利用复化辛普森
3、公式导证了计算公路匝道点位坐将式（"）代入式（(）得标的通用公式。$-8$#9!-9!#（$%）<%=!1（>）二、公路匝道点位坐标计算&-:$%##对于式（>），当，时，，则$，式（>）;<公路匝道中线形式!#8!!&8!!-8!-8$#公路匝道中线是由直线—回旋曲线—圆曲线（!%）—回变成计算直线段上任意点切线坐标方位角计算公式；当!#旋曲线—圆曲线（!）—回旋曲线—直线的顺序组成的，其$%-:$%#&8%／!，!&8%／!时，!-8%／!，则$-8$#9<中!。!%!!&%=!1，式（>）代表圆曲线上任意点切线坐标方位角计算公式。=<
4、回旋曲线上点位坐标方位角的计算#如图%，设回旋曲线起点#的曲率为!#，其里程为可见，若已知曲线段起点和终点的曲率及起点的切线坐$%#；回旋曲线终点&的曲率为!&，其里程为$%&’#()*)为标方位角，式（>）便能计算任意线型点位切线坐标方位角。以#为坐标原点，以#点切线为()轴的局部坐标系；#+,><回旋曲线点位坐标计算为线路坐标系。由图%可得回旋曲线上点位在#()*)坐标系下坐标计由于回旋曲线上各点曲率半径!-和该点离曲线起点的算公式：距离.成反比，故此任意点的曲率为-;()8;.?51"-（A）／!／/（/为常数）（%）｝!-8%-8.
5、-;*)8;.1@/"-$%()8"$%-?51"-;.$##（=）$%*)8"$%-1@/"-;.%#设回旋曲线起点#在线路坐标系下的坐标为（+，#,#），将式（>）替代式（=）中的"-，便得回旋曲线上任意点在线路坐标系下的坐标：$%+8+#9"$%-?51$-;.$#图%局部坐标系与线路坐标系#（#）$%由式（%）可知，回旋曲线任意点的曲率按线性变化，由此,8,#9"$%-1@/$-;.%#回旋曲线上里程为$%-点的曲率为对于式（#）的解算，由于后半部分是定积分，我们引入复!&:!#（$%）（&）化辛普森公式对其进行解算。!-8!#9$
6、%-:$%#&:$%#首先将积分区间［$%，$%］划分为2等分，步长为3#-当曲线右偏时，!#，!&取正；当曲线左偏时，!#，!&取负。8（$+-:$%#）／2，分点里程为$+%8$%#9%3，%8!，%在图%中有;"0;.0!-;.$%，&，⋯，2，记子区间［$+%，$+%9%］的中点里程为$+%9%，!-&#（’）$%-则$+%9%8（$+%9$+%3）／&，%8!，%，⋯，2:%。!.&"-0"-;%$%#（下转第"!页）收稿日期：%###"!#"&’万方数据（上接第!"页）由此式（#）用复化辛普森公式表示为线段、圆曲线段、回旋曲线段
7、，只要将各曲线段中的起点、终#$+,$+,点的曲率和里程以及解求点里程(%和各分点里程代入式!$!"%（’()!’()!%%,%.!’()!%%’()!&）#&"%*!&%$-.%$,（.）（、&）（、,-）便可获得待求点(%的坐标。在计算时，要注"&#$+,$+,’$’"%（)/0!"%*!)/0!%%,%.!)/0!%%)/0!&）$意曲线的偏向。&%$-.%$,（,-）四、结论式中：!为回旋曲线起点"的切线方位角；!,为里本文得到的式（,-）是计算公路匝道点位坐标的通用公"%%.式。当曲线的设计半径较小时，为保证点位计算精度，$的程(
8、!,点切线方位角；!为里程(!点切线方位角；!%%"%&.取值可适当的大些。该公式很容易在袖珍计算机和123456为里程(%点切线方位角。&对于式（,-），虽然是由回旋曲线导出的
