应用微分学(极限)

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1、第三章应用微分学第1次课一、微积分是什么？（你有没有应用过微积分知识解决问题？）微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想和数学方法，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分，微积分是一个处理连续变量的数学工具。微积分诞生之前，人类基本还处在农耕文明时期，16世纪人类社会渐渐进入了工业时代，由于科学技术发展的需要，为解决天文学、力学、几何学问题，十七世纪后半叶牛顿和莱布尼茨在许多数学家工作的基础上，分别从力学和几何学独立地建立了微积分学。（导数、积分概念产生的背景是运动、几何问题）。在数学中引入了变量概念后，就有可能把运动现象用数学加以描述，有了微积分，人类才有能力把握

2、运动和过程，微积分的发现是近代科学的开端。二、极限概念（你对这个概念有什么记忆和认识？）牛顿——莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但“无限”的概念无法用已经掌握的代数公式进行演算，所以，要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。极限这个概念通过引入一个过程任意小的量而绕开了0为除数的麻烦，即除的数不是，所以有意义。十九世纪，法国数学家柯西（1781——1857）和德国数学家维尔斯特拉斯（1815——1897）于1855年建立了极限理论。经过实用性证明，极限概念的构造和引入是成功的。极限是研究变量的变化趋势的数学工具，它是一个无限的过程又是确定的结果，

3、极限方法也是研究函数的一种基本方法。计算运动物体瞬时速度、求曲线的切线、求平面图形面积等问题都需要极限，极限的思想方法是为求某些实际问题的精确值而产生的。我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积估算圆面积的方法——割圆术和古代《庄子》中所说“一尺之锤，日取其半，万世不竭”蕴含了极限思想，高等数学中的连续、导数、定积分和级数概念都是建立在极限基础上，所以说，极限是整个微积分理论的基础。（推荐参考书：吴赣昌主编理工类高职高专版《高等数学》，侯风波主编《工科高等数学》，同济大学编写的《高等数学》第六版）我们的学习就从极限开始。（阅读教材P36——40）§3.1极限一数列极限的描述性定

4、义（从例子看到，极限是用来衡量一个无穷变化过程结果的，它是无限过程（虽然无法触及）又是确定结果。如果无穷变化过程有一个终极点，就称这个无穷变化有极限，如果无穷变化过程没有一个终极点或者有多个趋向目标，则这种无穷变化没有极限）定义1当n无限增大时（记作），如果数列的项无限接近某个常数A，则称A为数列的极限，记作：。否则，称数列的极限不存在。阅读例题（例题怎么求得极限的？——观察法，求极限就是观察数列的通项变化趋势怎样，有没有终极点，可列出若干项，或在数轴上把点直观描出来。其实，极限的概念最初是在运动观点的基础上凭借几何直观产生的直觉用自然语言定性描述的）练习：P461二数列极限的

5、求法——逼近算法7计算机如何计算极限值呢？其方法就是算出数列的部分项（可列表显示），根据精度要求保留适当的位数，通过观察数列项的变化趋势来研究数列的极限，当某相邻两次的计算结果之差的绝对值小于预先指定精度（即）时结束。有时数列的项变化缓慢，可以取相隔多项的两项，只要终止。这种方法称为逼近算法。例1阅读教材P38例4、例5、例6注意：求极限近似值的控制条件三极限逼近算法的N-S图和算法实现（重点、难点之处，要学生阅读理解，动手画N-S图，按照N-S图编写实现程序。也许是学生比较乐于参与的教学内容）N-S图阅读教材P40例7（一般的N-S图与能编程实现的N-S图有什么不同？）算法实

6、现阅读教材P62Mathematica程序（不知道软件专业学生的编程能力是否超过教材所讲授内容的水平？网络专业呢？网络没有实验课，怎么上编程实现的内容？？）作业（课后上机操作P462、6、7）后记第2次课四函数极限数列极限只是定义在正整数集上的特殊的函数极限，现在讨论定义在实数集上函数极限。引例阅读教材P41例8、例9（函数描述的是若干变量之间的关系，当一个变量变化会引起相关变量变化，并且变量的变化呈现一定变化趋势，我们往往用函数极限来刻画。）函数极限包括以下情况1）趋于无穷大时（）函数的极限2）趋于某有限数时（）函数的极限（一）函数极限描述性定义（阅读教材P42定义2、定义3

7、、定义4）1）时的极限定义函数在区间有定义，如果当自变量时，相应的函数值7无限接近常数A，则称A为函数当时的极限，记作。函数在区间有定义，如果当自变量时，相应的函数值无限接近常数A，则称A为函数当时的极限，记作定理3.1存在且为的充分必要条件是对应简单函数，可以根据图形观察函数的变化趋势（求基本初等函数的极限时，可以用观察法）例阅读教材P42例10、例11（补充）求2）时的极限定义设函数在点的某个去心邻域内有定义，当x无限接近时，相应的函数值无限接近常数A，则称A为函数当时的极限，记作例阅读