4函数思想在不等式证明中的应用

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1、不等式证明中的函数思想函数思想在不等式问题中有着广泛的应用，在证明不等式时，先认真观察不等式的结构特征，或者经过适当的变形后再观察，然后构造出一个与该不等式有关的辅助函数，利用辅助函数的有关性质，将不等式问题转化为函数问题，从而拓宽解题思路，降低问题的难度。‘构造函数法’是一种创造性的数学思想方法，它的应用不仅体现在证明不等式上，还对于训练学生的数学思维，提高解题能力等方面有着很大的帮助。一构造一次函数例1已知,求证分析因为在不等式中的地位可以轮换，所以可以以任何一个作为自变量，构造一次函数证明：原不等式可化为

2、构造函数因此只需要证明时恒成立，又所以（1）当时，（2）当时，又因为一次函数的单调性，所以时恒成立综上，，时恒成立，故原不等式得证。二构造二次函数例2设函数，方程两根满足，当时，求证分析分析已知条件，构造相应的二次函数证明：令由为方程的两根，所以当时，由又=得即①又=得②由①②得三构造指（对）数型函数例3已知实数，求证分析利用指数函数的单调性证明证明：原不等式可化为构造函数因它是减函数，且又，则即，故原不等式成立例4设为互不相等的正数，求证分析利用对数函数的单调性证明证明：构造对数函数，在上是增函数因为与同号，

3、所以同理有将上面三个同向不等式相加，左边展开并加以整理得所以原题得证四构造三角函数例3求证分析利用三角函数的有界性解决问题证明：令则==当即时取等号此时故原题得证此外，有些不等式从形式上观察，好象无法用构造函数法证明，但只要我们认真观察，善于等价转化，对不等式加以适当的整理变形，有的时候也可以构造合适的函数来证明。