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1、第六节压缩映象原理及其应用 本节作为完备度量空间何重要特征，我们介绍Banach压缩映象原理，它在许多关于存在唯一性的定理证明中是一个有力的工具。随着现代电子计算机技术的发展，我们在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的过程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。几乎可以这样说：对一个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出了这个方程（当然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题）。但是，在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是个收敛序列，否则就是毫无意义的了。而选代法解方程的实质就是寻求变换（映射、映照）的不动
2、点。例如求方程f(x)=0的根，我们可令g(x)=x-f(x)，则求f(x)=0的根就变成求g(x)的不动点，即求,使.而在通常求映射的不动点的方法中，最简单的就是下面我们所讲的--Banach压缩映象定理。定义（压缩映象）设T是度量空间X到X中的映照，如果对都有（是常数）则称T是X上的一个压缩映照。从几何上说：压缩映照即点x和y经过映照T后，它们的像的距离缩短了（不超过d(x,y)的倍） 定理1（Banach压缩映照原理）1922年（Banach1892-1945波兰数学家）设（X,d）是一个完备度量空间，T是X上的一个压缩映照，则丅有唯一的不动点。即的使
3、证：任取令（此即解方程的逐次迭代法）先证是Cauchy点列①① 先考虑相邻两点的距离②再考虑任意两点的距离当n>m时==是Cauchy点列是完备度量空间,使下证x为不动点再证不动点唯一若还有,使则因必须注:①定理条件(a)X完备,(b)缺一不可，反例如下(a)若X不完备,则定理不成立例如:令X=(0,1),用欧氏距离,则但不动点(b)定理不成立例如:令X=R用欧氏距离则但显然T无不动点。②若将空间X条件加强为紧距空间，则压缩因子条件可放宽为1，即可改为 限于我们的学时，我们只介绍一下Banach压缩映象原理的简单应用。定理2（隐函数存在定理）设在带状区域上处
4、处连续，处处有关于y的偏导数,且如果存在常数m,M，适合.则方程f在闭区间上有唯一的连续函数,使。证：（在中考虑映照，若其为压缩映照，则有不动点）在完备度量空间中作映照,显然,对由连续函数的运算性质有。是到自身的一个映照下证是压缩的.即证,任取由微分中值定理,存在,使令则,故取最大值映照T是压缩的.由Banach压缩映象定理在上有唯一的不动点使显然这个不动点适合注：①注意本定理的证明思路：先确定空间，再找映照（这是难点）,然后证明此映照是压缩的，最后利用定理即得。注意到这是利用Banach压缩映照定理解题的一般方法。①② 此隐函数存在定理给出的条件强于数学分
5、析中隐函数存在定理所给出的条件，因而得出的结论也强些：此处得出区间上的连续隐函数. 下面我们介绍Banach不动点定理在常微分方程解的存在唯一性定理中的应用--Picard定理.定理3：（Picard定理Cauchy--Peano微分方程解的存在唯一性定理）（Picard法国人1856—1941Peano意大利人1858--1932）设在矩形上连续,设又在R上关于x満足Lipschitz（德国人1832--1903）条件,即存在常数k使对有,那么方程在区间上有唯一的满足初始条件的连续函数解.其中证：设表示在区间上的连续函数全体。对成完备度量空间。又令表示中满
6、足条件的连续函数全体所成的子空间。显然闭,因而也是完备度量空间.令如果当时,而是R上的二元连续函数,映照中积分有意义。又对一切故T是到的一个映照 下证是压缩的。由Lipschitz条件,对中的任意两点有令,则由有.则故T是压缩的。由Banach压缩映象定理,T在中有唯一的不动点.即使即且即是满足初值条件的连续解。再证唯一性。如果也是满足的连续解.那么因而而且也是T的不动点.而T的不动点是唯一的.故有唯一解。注：题设条件中Lipschitz条件的要求是十分强的，它保证了解的唯一性。实际上満足Lipschtz条件即为一致收敛。因而可在积分号下求导，如果把解的要求
7、降低，例如只要求广义解，即只要求满足积分方程则题设条件可大大放宽：只要有界,即可利用Lebesgue控制收敛定理得到广义解。注意到Banach压缩映照定理不仅证明了方程的解的存在唯一性，而且也提供了求解的方法--逐次逼近法：即只要任取令则解.且在Banach不动点定理的证明中,有.即此式给出了用逼近解的误差估计式。 补充：Brouwer不动点是定理与Schauder不动点定理简介鉴于不动点理论在现代数学中非常重要的地位，以及不动点理论是现代泛函分析中一个十分活跃的重要分支，下面我们简单介绍Brouwer不动点定理和Schauder不动点定理及其简单应用
8、。一、Brouwer不动点定理及其应用：（一）Bro
