2015解步步高大一轮讲义(理)13.2

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1、§13.2　复　数1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．(5)复数的模向量的模r叫做复数z＝a＋bi

2、的模，记作__

3、z

4、__或

5、a＋bi

6、，即

7、z

8、＝

9、a＋bi

10、＝.2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi平面向量(a，b∈R)．3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算

11、定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　×　)(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　×　)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　×　)(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　√　)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　√　)2．(2012·北京)设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　)A．充分而不

12、必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．3．(2013·陕西)设z是复数，则下列命题中的假命题是(　　)A．若z2≥0，则z是实数B．若z2<0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2<0答案　C解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，得即或.所以a＝0时b＝0，b＝0时a∈R.故z是实数，所以A为真命题；由于实数的平方不小于0，所以当z2<0时，z一

13、定是虚数，故B为真命题；由于i2＝－1<0，故C为假命题，D为真命题．4．(2013·四川)如图，在复平面内，点A表示复数z，由图中表示z的共轭复数的点是(　　)A．AB．BC．CD．D答案　B解析　表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示.选B.5．(2013·广东)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是(　　)A．2B．3C．4D．5答案　D解析　由题意知x＋yi＝＝4－3i，所以

14、x＋yi

15、＝

16、4－3i

17、＝＝5.题型一　复数的概念例1　(1)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为(　　)A．1

18、B．iC.D．0(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件思维启迪　(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则b＝0时，z∈R；b≠0时，z是虚数；a＝0且b≠0时，z是纯虚数．(2)直接根据复数相等的条件求解．答案　(1)A　(2)A解析　(1)由＝＝＝＋i是纯虚数，得a＝1，此时＝i，其虚部为1.(2)由，解得m＝－2或m＝1，所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．思维升华　处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和

19、虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．　(1)(2013·安徽)设i是虚数单位．若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　)A．－3B．－1C．1D．3(2)(2012·江西)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为(　　)A．0B．－1C．1D．－2答案　(1)D　(2)A解析　(1)a－＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由a∈R，且a－为纯虚数知a＝3.(2)利用复数运算法则求解．∵z＝1＋i，∴＝1－i，z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝