2015解步步高大一轮讲义(理)2.8

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1、§2.8　函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(

2、x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系3.二分法(1)定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(

3、ⅱ)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(ⅲ)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε：即若

4、a－b

5、<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　×　)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<

6、0时没有零点．(　√　)(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　×　)(5)函数y＝2sinx－1的零点有无数多个．(　√　)(6)函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则－1

7、log0.5x

8、－1的零点个数为(　　)A．1B．2C．3D．4答案　B解析　当0

9、)在(0,1)上有一个零点．当x>1时，f(x)＝－2xlog0.5x－1＝2xlog2x－1，令f(x)＝0得log2x＝x，由y＝log2x，y＝x的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f(x)在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.3．(2013·重庆)若a

10、案　A解析　由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.4．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)A．(－，0)B．(0，)C．(，)D．(，)答案　C解析　∵f(x)＝ex＋4x－3，∴f′(x

11、)＝ex＋4>0.∴f(x)在其定义域上是严格单调递增函数．∵f(－)＝e－4<0，f(0)＝e0＋4×0－3＝－2<0，f()＝e－2<0，f()＝e－1>0，∴f()·f()<0.5．已知函数f(x)＝lnx－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N*)，则k的值为________．答案　3解析　由题意知，当x>1时，f(x)单调递减，因为f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－2<0，所以该函数的零点在区间(3,4)内，所以k＝3.题型一　函数零点的判断和求解例1　(1)(20

12、12·湖北)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为(　　)A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7(2)设函数f(x)＝x2＋(x≠0)．当a>1时，方程f(x)＝f(a)的实根个数为________．思维启迪　(1)函数零点的确定问题；(2)f(x)＝f(a)的实根个数转化为函数g(x)＝f(x)－f(a)的零点个数．答案　(1)C　(2)3解析　(1)当x＝0时，f(x)＝0.又因为x∈[0,4]，所以0≤x2≤16.因为5π<16<，所以函数y＝co