2015解步步高大一轮讲义(理)专题三

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1、专题三　高考中的数列问题1.公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且－3a1，－a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4等于(　　)A.－20B.0C.7D.40答案　A解析　记等比数列{an}的公比为q，其中q≠1，依题意有－2a2＝－3a1＋a3，－2a1q＝－3a1＋a1q2≠0.即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0，又q≠1，因此有q＝－3，S4＝＝－20，选A.2.等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于(　　)A.12B.10C.8D.

2、2＋log35答案　B解析　等比数列{an}中，a5a6＝a4a7，又因为a5a6＋a4a7＝18，∴a5a6＝9，log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝5log3(a5a6)＝5log39＝10.3.若正项数列{an}满足lgan＋1＝1＋lgan，且a2001＋a2002＋a2003＋…＋a2010＝2013，则a2011＋a2012＋a2013＋…＋a2020的值为(　　)A.2013·1010B.2013·1011C.2014·1010D.2014·1011答案　A

3、解析　由条件知lgan＋1－lgan＝lg＝1，即＝10，所以{an}为公比是10的等比数列.因为(a2001＋…＋a2010)·q10＝a2011＋…＋a2020，所以a2011＋…＋a2020＝2013·1010，选A.4.已知数列{an}满足an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则{an}的前n项和Sn＝________.答案　2n＋1－2－n解析　∵an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，∴Sn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n.5.把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，

4、第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为________.答案　392解析　将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数.又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n－1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n－1}的第98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋

5、197＝392.故填392.题型一　等差、等比数列的综合问题例1　在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝，证明：数列{bn}为等比数列；(3)求数列{nbn}的前n项和Tn.思维启迪　(1)设出数列{an}的通项公式，结合已知条件列方程组即可求解；(2)由(1)写出bn的表达式，利用定义法证明；(3)写出Tn的表达式，考虑用错位相减法求解.(1)解　由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，得方程组，解得.所以an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10.(2)证明　由(

6、1)，得bn＝＝22n＋10－10＝22n＝4n，所以＝＝4.所以{bn}是首项为4，公比为4的等比数列.(3)解　由nbn＝n×4n，得Tn＝1×4＋2×42＋…＋n×4n，①4Tn＝1×42＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，②①－②，得－3Tn＝4＋42＋…＋4n－n×4n＋1＝－n×4n＋1.所以Tn＝.思维升华　(1)正确区分等差数列和等比数列，其中公比等于1的等比数列也是等差数列.(2)等差数列和等比数列可以相互转化，若数列{bn}是一个公差为d的等差数列，则{abn}(a>0，a≠1)就是一个等比数列，其公比q＝ad；反

7、之，若数列{bn}是一个公比为q(q>0)的正项等比数列，则{logabn}(a>0，a≠1)就是一个等差数列，其公差d＝logaq.　数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2且Sn＝Sn－1＋2n(n≥2，n∈N*).(1)求Sn；(2)是否存在等比数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a3，b3＝a9？若存在，求出数列{bn}的通项公式；若不存在，说明理由.解　(1)因为Sn＝Sn－1＋2n，所以有Sn－Sn－1＝2n对n≥2，n∈N*成立.即an＝2n对n≥2，n∈N*成立，又a1＝S1＝2×1，所以an＝2n对n∈N*成立.所以an

8、＋1－an＝2对n∈N*成立，所以{an}是等差数列，所以有Sn＝·n＝n2＋n，n∈N*.(2)存在.由(1)知，an＝2n对n∈N*成立，所以有a3＝6，a9＝18，又a1＝2，所以有b1＝2，b2＝6