第3章 中值定理与导数的应用

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1、高等数学教案§3中值定理与导数的应用第三章中值定理与导数的应用教学目的：1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。6、知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、

2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。§3.1中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在x0处可导,如果对任意xÎU(x0),有f(x)£f(x0)(或f(x)³f(x0)),那么f¢(x0)=0.罗尔定理如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且有f(a)=f(b),那么在(a,

3、b)内至少在一点x,使得f¢(x)=0.简要证明:(1)如果f(x)是常函数,则f¢(x)º0,定理的结论显然成立.(2)如果f(x)不是常函数,则f(x)在(a,b)内至少有一个最大值点或最小值点,不妨设有一最大值点xÎ(a,b).于是,高等数学课程建设组高等数学教案§3中值定理与导数的应用,所以f¢(x)=0.罗尔定理的几何意义:二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么在(a,b)内至少有一点x(a

4、)成立.拉格朗日中值定理的几何意义:f¢(x)=,定理的证明:引进辅函数令j(x)=f(x)-f(a)-(x-a).容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件:j(a)=j(b)=0,j(x)在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导,且j¢(x)=f¢(x)-.根据罗尔定理,可知在开区间(a,b)内至少有一点x,使j¢(x)=0,即f¢(x)-=0.由此得=f¢(x),即f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a).定理证毕.f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a)叫做拉格朗日中值公式.这个公式对于b

5、式的其它形式:设x为区间[a,b]内一点,x+Dx为这区间内的另一点(Dx>0或Dx<0),则在[x,x+Dx](Dx>0)或[x+Dx,x](Dx<0)应用拉格朗日中值公式,得f(x+Dx)-f(x)=f¢(x+qDx)Dx(0

6、导数恒为零,那么f(x)在区间I上是一个常数.证在区间I上任取两点x1,x2(x10时,.证设f(x)=ln(1+x),显然f(x)在区间[0,x]上满

7、足拉格朗日中值定理的条件,根据定理,就有f(x)-f(0)=f¢(x)(x-0),0

8、,那么在(a,b)内至少有一点x,使等式.成立.显然,如果取F(x)=x,那么F(b)-F(a)=b-a,F¢(x)=1,高等数学课程建设组高等数学教案§3中值定理与导数的应用因而柯西中值公式就可以写成:f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a)(a