第04章中值定理与导数的应用

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1、所以广（勺）=0.第四章中值定理与导数的应用第一节中值定理—、罗尔定理1、费马定理：设UguD(f),/(x)/(x0)],xet/(x0),若/(x)eD(x0),则f(xo)=O.证明：由于f(x)-f(xo)<0,XGt/(%0),那么ff(x0)=lim^(%)~^(%())>0,(因x-xo0）XT咸X-XQ2、罗尔定理:设/(x)eC[a,b]f/(x)g£>(«,/?),且=则北w(a,b),M/W=0.证明：因/(x)e

2、C[a,h],3xin,xMe[a,b],s.t.m=fM=min{/(x)},M=f(xM)=max{/(x)}.a^x^ha

3、切线。例1不用求出/(x)=(x-l)(x-2)(x-3)的导数,试判别方程/V)=0有儿个实根.解：显然/(兀)在区间[1,2],[2,3]上都连续,门兀)在区间(1,2),(2,3)内都可导,H/(l)=/(2)=/(3),由罗尔定理知,话丘(1,2)，话丘(2,3),M广简)=广©)=0；由于方程广(兀)=0是二次多项式，知其至多有两个实根,所以方程广(x)=0有而只只有两个实根§,%・例2设/(x)eC[O,1],f(x)eD(O,1),且/(O)=0,则北w(0,1),s.t./⑷+忆―1)广(C=0・问题：设f(x)eC[O

4、,a]f/(兀)wD(O,a),且f(a)=O,则毋w(O,a),s.t.3了©+甲©=0・问题:设f(x)eC[O,1],f(x)e0(0,1),且/(O)=/(l)=0,则北w(0,l),M广G)+/(Csi叱=0.二、拉格朗日中值定理1、拉格朗日中值定理设f(x)gC[a,b]f(x)gD(a,b),贝归歹e(a,b),s.t.7^)-/(a)=广(C@-d)此式称为拉格朗日中值公式.证明：引入直线4*的函数厶(兀)=/(a)+/(Z?)—/(Q)(x—°),xg[«,/?].b-a显然L(a)=/(«),L(b)=f(b),L

5、x)=b-a考虑函数(p(x)=/(x)-L(x)eC[a,b],(p{x)eD(a,b),乂(p(a)=(p(b)=0,由罗尔定理知：北w(a,b),M0(g)=O,即0忆)=『©-L'©=『©-/"：)73)=0,b-a所以f(b)-f(a)=『(G(b-a),^e(a9b).注：上式也可写成f(a)-f(b)=,gg(a,b).2、几何意义曲线y=/(x)两个端点构成一弦AB,则曲线内必有一切线与此弦平行。3、拉格朗II中值公式的另一种表现形式f(b)-f(a)=f[a+0(b-a)](b一a),0v&v1・或△y=广(兀+血r)

6、Ax,0v&v1.证明：因=gw(a,b).令&=』^w(O,l),这样g=a+e(b—a),b-a于是f(h)-f(a)=fr[a+0(b-a)](b-a),Ov&vl.例3显然/(x)=Vl+xeC[—l,b],/(x)eD(-l,/?)，则北g(一l,b),s.t.5)")=点Z2刃冷所以Vi+^-.2r例4证明当兀〉0时，——0,由于/⑴=ln(l+r)GC[O,x],/(r)eD(O,x),Kf(r)=—,那么由拉格朗日中值定理知:北w(O,x),M1+ZY/«-/(0)

7、=广(0(兀—0),艮卩ln(l+%)=-^-,0<^0.1+兀4、定理：设f(x)eC[a,b]f(x)eD(a9b))且广(兀)=0,兀w(c“),则/(兀)三C,xe[a,h],(C为常数)・证明:令C=f(a)fVx0G[a,/?],若兀o=a，/(x)=C；若a

8、中值定理设f(xg(x)eC[a,b]f(x),g(x)eD(a,b)fg©)H0,xw(a,b),则北g(a,b),s.t.7(b)-.f(Q)二广审g(b)—g(a厂g©)'此式称为拉格朗口中值公式.