[高考数学复习课件]2011年高考数学第一轮知识点总复习(28).ppt

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1、第五节三角函数的图象与性质（Ⅰ）基础梳理1.周期函数(1)周期函数的定义对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做函数f(x)的最小正周期.2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域x∈Rx∈Rx∈R且x≠+kπ,k∈Z值域{y

2、-1≤y≤1}{y

3、-1≤y≤1}R单调性[+2kπ,+2kπ]上递增,k∈Z;[+2kπ,+2kπ]

4、上递减，k∈Z[(2k-1)π,2kπ]上递增k∈Z;[2kπ,(2k+1)π]上递减k∈Z(-+kπ,+kπ)上递增，k∈Z函数y=sinxy=cosxy=tanx最值x=+2kπ(k∈Z)时，=1;x=-+2kπ(k∈Z时，=-1x=2kπ(k∈Z)时，=1;x=π+2kπ(k∈Z)时，=-1无最值奇偶性奇偶奇对称性对称中心(kπ,0),k∈Z对称轴l:x=kπ+(k∈Z)对称中心（kπ+,0（k∈Z）对称轴l:x=kπ（k∈Z）对称中心(,0),k∈Z无周期2π2ππ题型一三角函数的定义域分析(1)需注意对数的真数大于零，然后利用玄函数的图象求解.(2)需注意偶次根式的被开方数大于或等

5、于零，然后利用函数的图象或三角函数线求解.【例1】求函数y=1-的定义域.解由题意得：解得即x∈[+2kπ,+2kπ),k∈Z.学后反思求三角函数的定义域时，转化为三角不等式组求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决;求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可.本题中因为y=sinx,y=cosx的周期都是2kπ,所以先在区间[0,2π)内求出交集后，再加上2kπ即可.举一反三1.求y=的定义域。解析要使函数有意义，必须使sinx-cosx≥0.方法一：利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示.在[0,2π]内，满足si

6、nx=cosx的x为,,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以定义域为{x

7、2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}.方法二：sinx-cosx=sin(x-)≥0,将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2kπ≤x-≤2kπ+π,解得2kπ+≤x≤2kπ+.k∈Z所以定义域为{x

8、2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}.题型二三角函数的单调性、周期【例2】求y=3tan的周期及单调区间.分析先化为y=-3tan,再求单调区间.解y=3tan=-3tan,∴T==4π,∴y=3tan的周期为4π.由kπ-＜＜kπ+4kπ-＜x＜4kπ+(k∈Z),3tan在(4kπ-,4kπ+)(k∈

9、Z)内单调递增,∴y=3tan在(4kπ-,4kπ+)(k∈Z)内单调递减.举一反三学后反思对于y=Atan(ωx+φ)(A、ω、φ为常数),其周期T=单调区间利用ωx+φ∈(kπ-,kπ+)解出x的取值范围,即为其单调区间.对于复合函数y=f(v),v=φ(x)，其单调性判定方法是：若y=f(v)和v=φ(x)同为增（减）函数时，y=f[φ(x)]为增函数；若y=f(v)和v=φ(x)一增一减时，y=f[φ(x)]为减函数.2.求函数y=3tan(-2x)的单调区间和周期.解析：令u=-2x,当x∈R时，函数u=-2x单调递减.由于函数y=3tanu在区间(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上单

10、调递增，所以复合函数y=3tan(-2x)在相应区间上单调递减.题型三三角函数的奇偶性分析对sin(2x+φ)利用诱导公式，可化为f(x)=±cosωx的形式，此函数是偶函数.故由-+kπ＜-2x＜+kπ（k∈Z）,得-+＜x＜+（k∈Z）.故原函数的单调递减区间为(-+,+)(k∈Z)，周期为T=【例3】若函数f(x)=sin(2x+φ)是偶函数，则φ的一个值为()A.φ=πB.φ=-C.φ=-D.φ=-举一反三解当φ=-时，f(x)=sin(2x-)=-sin(-2x)=-cos2x是偶函数.学后反思(1)由此题可得到一个一般性结论，函数f(x)=sin(ωx+φ)若为奇函数，则φ=kπ

11、;若为偶函数，则φ=kπ+.函数f(x)=cos(ωx+φ)若为奇函数，则φ=kπ+;若为偶函数，则φ=kπ,其中k为整数.(2)判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，然后再判断f(-x)与f(x)的关系.3.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=-cosx;(2)f(x)=asinx+bcosx(ab≠0);(3)f(x)=题型四三角函数的最值解析：(1)∵x∈R,又f(-x)=-cos(-x)