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1、第一单元层次分析法——AHP简介第一单元层次分析法一AHP简介（TheAnalgticHierarachyProcess-…AHP）前言最优化技术在决策分析中占着极重要的位置，数学模型在最优化技术中占着统治地位；由丁•系统越來复杂，数学模型也越来越复杂，掌握运用困难很多，并且随着复杂性增加，模型解与实际要求距离也在增加。事实上，数学模型也非万能，决策中大量因素无法定量表示，所以，有时人们不得不回到决策的起点和终点：——人的选择和判断，需要认真地研究选择和判断的规律，这就是AHP产生的背景。匹兹堡大学Saaty教授于七十年代中期提出层次分析法AHP
2、。于80年代初由Saaty的学生介绍到我国。层次分析AHP的特点：1.输入信息主要是决策者的选择和判断。决策过程充分反映了决策者对决策问题的认识；2.简洁性：基于高中知识，可不用计算机完成计算；3.实用性：能进行定量分析，也可定性分析；而通常最优化方法只能用于定量分析;4.系统性：人们决策大致分三种：（因果判断、概率推断和系统推断），AHP把问题看作一个系统屈于第三种，真正要搞清楚AHP原理，需要深刻的数学背景。好在我们只重应用，并不过多涉及AHP的数学背景。AHP的主要不足在于：1.AHP只能用于选择方案，而不能生成方案；主观性太强，从层次结构
3、建立，判断矩阵的构造，均依赖决策人的主观判断，选择，偏好，若判断失误，即可能造成决策失误。规划论—采用较严格的数学计算，把人的主观性降到最低程度；但有些决策结果令决策人难以接受。AHP―从本质上讲是试图使人的判断条理化，所得结果基本上依据人的主观判断,当决策者的判断因受个人偏好影响对客观规律歪曲时，AHP的结果显然靠不住，所以，AHP中通常是群组判断方式。尽管AHP在理论上尚不完善，应用中也有缺陷；但由于AHP简单、实用，仍被视为是多目标决策的有效方法，至今仍被广泛应用的一种无结构决策方法。§1AHP预备知识（一）1.特征根与特征向量设Af,为“
4、阶方阵，若存在常数2和非饗"维向量X=®,g2，A,g』，使得Ag=Ag（1）则称，2是矩阵A的特征根（或特征值），非寥向量％是矩阵4关于特征根2的特征向量。1.1特征根的求法由（1）得戚-励=0n（4-征逆=0,这是一个〃元一次线性齐次方程组，按题意该方程组有非零解，则其充分必要条件为：系数行列式为零，即1-3第一单元层次分析法——AHP简介
5、A-2E
6、=0（2）称(2)式为矩阵A的特征方程，它是一个一元7Z次方程，由代数基本定理知，该方程有且只有/I个根。1.重量模型设屿,“2,A,叫为"个物体,重量分别是gi，g2，A，gu。但是，我们并不
7、知道物体的重量，只知两两之间重量比的比值：设准则C为重量，问题是：已知阴(1GJS),在准则C下对元素绚,“2，人，冷排序，也就是按其重量大小排序已知。Agi'828nA=kL=邑邑Agl82gnMM0M邑邑A邑Is8ny(1)a,}>0(2)a..=—a„p(3)・a*=aik显然a”满足(1)(2)：但是，(3)式通常不被满足，满足(1)、(2)的A为正互反矩阵；满足(1)、(2)并且(3)也成立时的称为一致性判断矩阵。问题是：已知判断矩阵A,在准则C下对n个物体排序。即按重量大小排序。如果，a是，gj,g,是重量的精确值，此时(3)式必定成
8、立，即A是一致g性矩阵。令7g=(g
9、g2Agj则Ag=ng显见h是方阵A的特征根,g是A的与2=n对应的特征向量;事实上此时不难验证:川是方阵A=(a^的最大特征根，其余小个特征根全为零，而g是4的与最大特征根卅对应的特征向量。(证明见附录)g的«个分量是物体的相对重量，因此，可按此对“1，«2，A，鸣排序。如果对矩阵4有一个小的扰动，即勺不再是真实重量的比值，这时显然A不满足一致性条件，此时A的最大特征根2唤不再是皿因扰动很小，自然血疵离〃不远，这时2唤对应的特征向量虽然不会是〃个物体的真实重量&=(gi，g2,A,g,J，但是，变动也不会太
10、大。我们设想：如果扰动不大，则乂小］离几就不远，此时人疵对应的特征向量Q与g差不多，如果g‘不改变g的各分量的大小次序，则Q同样给出门个物体均上2，人，冷按重量大小的真实排序。这样，对不满足一致性的止互反矩阵A=(«.)_,我们求其最大特征根2唤，再求与人疵对应的特征向量小则可按g对几个物体绚上2，人，冷按重量大小排序。但是，这一番理论有儿个疑点：①当月不满足一致性时，〃还有没有最大正的特征根：②既使川1-3第一单元层次分析法——AHP简介有最大特征根，那么，这个最大特征根血瘁对应的特征向量的全部分量能否还是正数？因为，该特征向量的各个分量对应的
11、是71个物体的相君重量（特征向量乘一个非零常数仍是特征向量）。因为矩阵代数中Perro-Frobineus理论明确地回答了这个问题。Pe
